Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
правил, обсуждавшихся в первом томе этой книги.
§ 103. Свойства физических состояний
Задача построения точных решений для системы связанных нелинейных
уравнений вида (15.4), описывающих взаимодействующие поля, до настоящего
времени не решена. Поэтому, прежде чем рассматривать приближенные методы
ее решения имеет смысл выяснить, как далеко можно продвинуться в
определении свойств точных состояний Ф и пропагаторов, исходя только из
принципов инвариантности. Особенно важную роль при таком рассмотрении
играют лоренцева инвариантность и инвариантность при пространственно-
временных смещениях, поскольку эти две симметрии являются общими для всех
случаев, представляющих физический интерес.
Начнем с рассмотрения собственных векторов Ф оператора энергии-импульса.
Эти векторы действительно существуют, по-
СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
139
скольку мы предполагаем инвариантность теории при пространственно-
временных смещениях. В дальнейшем мы будем работать в гейзенберговском
представлении, нумеруя векторы Ф собственными значениями оператора Pw и
всех остальных взаимно коммутирующих сохраняющихся операторов.
Из физических соображений можно наложить некоторые ограничения на
спектр оператора Р*4. в отсутствие точных реше-
ний эти ограничения остаются, конечно, недоказанными. Тем не менее мы
сделаем следующие предположения.
1. Собственные значения операторов энергии и импульса лежат внутри
переднего светового конуса
Р2 = РцР11 ^ О, Р°> 0. (16.1)
2. Существует невырожденное лоренц-инвариантное основное состояние с
наинизшей энергией, называемое вакуумным состоянием V
) Ф0 - I 0).
По определению начало /отсчета энергии выбирается так, что
/ Р° 10) = 0. (16.2)
Тогда из (16.1) следует>( что
Р|0) = 0.
Условие (16.2) лоренц-инвариантно, поэтому вектор |0) является вакуумным
состоянием во всех лоренцевых системах.
3. Для каждой частицы с массой /п,- существует стабильное одночастичное'
состояние
Ф1 е)МР(''>>,
где рФри) ** = т2г
Временно игнорируя "инфракрасные" усложнения, связанные с существованием
систем фотонов и нейтрино с полной нулевой массой, добавим четвертое
предположение.
4. Вакуум и одночастичное состояние образуют дискретный спектр операторов
Р*4. На фиг. 16.1 в качестве примера изображен спектр для я-мезонов.
Конечно, я-мезон в действительности не является стабильной частицей, он
распадается в основном по каналу
я+-> р+ + v',
причем наблюдаемое время жизни - 2 -10-8 сек. Эта величина гораздо больше
естественной частоты h/rtinC1 ~ 5 • 10-24 сек, поэтому в первом
приближении разумно пренебречь слабой связью и рассматривать я-мезон как
стабильную частицу. Далее можно сопоставить я-мезону поле <р и построить
лагранжиан и соответ-
140
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
ствующий 4-вектор энергии-импульса, спектр которого и указан на рис.
16.1.
Аналогичным образом каждому дискретному (или почти дискретному) состоянию
в спектре оператора Рu можно сопоставить свое поле <р(х) или т|з(х).
Такой подход по существу основывается на предположении о возможности
использовать теорию возмущений. Действительно, рассматривая поля,
отвечающие стабильным частицам, мы предполагаем, что взаимодействия
Рис. 16.1. Спектр оператора энергии-нмпульса для я-мезонов
Этих частиц не слишком сильно искажают спектр затравочных состояний. Это
предположение является весьма сильным, в частности оно автоматически
исключает рассмотрение связанных состояний. Хааг, Нишиджима и Циммерманн
[52] в рамках аксиоматического метода несколько продвинулись в понимании
того, как можно построить локальное поле, определенное в каждой
пространственно-временной точке х и описывающее связанное состояние двух
элементарных полей, например, как представить дейтрон, образованный из
двух нуклонов *). Однако точная связь между составным полем и
лагранжианом взаимодействия элементарных полей остается при этом
неясной2).
>) Рецепт весьма прост. Для скалярного одночастичного "составного"
состояния а, связанного с бесспиновыми полями А(х) и В(х), полевой
оператор <ра можно выбрать в виде
. . А (х + е) В (х - е)
Фа (•*) = lim - т.:-- . 1 -., г .
е'<о ФЕа (2я)3 (0 \А (х + е) В (х - е) | а)
8->0
*) См. в этой связи замечания С. Вейнберга и А. Салама [53].
In-ПОЛЯ И in-СОСТОЯНИЯ
141
§ 104. In-поля и in-состояния; асимптотическое условие
Поскольку мы интересуемся главным образом задачами рассеяния, попытаемся
прежде всего построить состояния, которые описывают физическую систему в
начальный момент времени t-> - оо. В этот момент времени рассеивающиеся
частицы еще не взаимодействуют и распространяются под влиянием своего
собственного поля. Поэтому прежде всего нужно построить операторы
рождения частиц с физическим значением массы. Как обычно, мы предположим,
что всевозможные состояния, различающиеся числом частиц и их импульсом,
образуют полный набор.---------------------------------------------
В случае невзаимодействующих частиц одночастичное состояние получается
