Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Sim л/lZs^'"+"'+
+ d+(p, s)Tv (p, s)e-m~ip-x\ (15.135)
Из рассмотрения одночастичной теории (см. (5.16)) мы знаем, что
Ти(р, s)~u* (- р, - s)ela+{p's), Tv(p, s) = v*(~-p, - s)eia_(p's),
(15.136)
где a - фазовые множители, зависящие от спинового состояния.
13б ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ (ГЛ. 13
Подействуем еще раз оператором Т на обе части уравнений
(15.136). Поскольку Т2 = 1, получим
а±(р, s) = n + ct±(- р, - s). (15.137)
Поэтому из (15.135) и (15.136) следует, что
Ш (р, s) <U~X = b ( р, - s) eia+ (р's),
Ш+(Р, s)<U~x = -d+(-p, -s)eia-ip'sK ( '
Представим далее °U в виде произведения двух унитарных преобразований
= <г/2%. (15.139)
(15.140)
Оператор °U\ выберем так, чтобы устранить фазовые множители
<Uib (р, s) <UTX = eia+{р' s)b (р, s), cLl{d+ (р, $) <llix = е(а- (р'
s)d+ (р, s).
Явный вид этого оператора есть
<Ui = exp / - i (j d3p ? [a+ (p, s) b+ (p, s) b (p, s) -
I ±5
- a_(p, s)d+(p, s) d (p, s)]j. (15.141)
Оператор ^ удовлетворяет уравнениям
<W> (p,s)U2X = -b(-p, - s), %d+ (p, s) i/2-1 = - d+ (- p, - s).
(15.142)
Используя ту же технику, что и при построении оператора четности,
получаем
<U2 = ехр / - г -J J d3p ? [&+ (р, s) Ь (р, s) +
С ±5
+ b+ (р, s) b (- р, - s) - d+ (р, s) d (р, s) -
- d+(p, s)d(-р, - s)]|. (15.143)
Равенство (15.138) означает, что обращенное по времени состояние
электрона или позитрона с энергией-импульсом Ер, р и спином s
представляет состояние с собственными значениями ЕР, -р, -s, т. е.
состояние с обращенными спином и импульсом, но по-прежнему с
положительной энергией. Соответствующие
§ 100]
ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
131
волновые функции связаны при этом следующим образом *): 'Ьр, р, s (*> 0 =
<01Ф (*> t) 11 электрон; р, s) =
= (K0\Kty(x, t) 1 электрон; р, ")* =
= {К0\°11~1<иК^1{х, t) 1 электрон; р, s)* -
= (0|/ф(лс, (1 электрон; р, s))* =
= - eia+ (р' S)T* (0 | ф (дс, -01 1 электрон; -р, -")* =
= ^+<^>7^ _р -0. (15.144)
Это уравнение показывает, что волновые функции обращенных по времени
состояний, как и в одночастичной теории, комплексно сопряжены.
Мы можем воспользоваться построенными операторами и в теории
взаимодействующих полей, несмотря на то, что разложение полевых амплитуд
возможно лишь в фиксированный момент времени, например, t - 0. Поскольку
при t - 0 все коммутаторы совпадают с коммутаторами свободных полей,
можно построить оператор tf§, удовлетворяющий соотношениям
совпадающими по своей форме с аналогичными соотношениями для операторов
свободных полей. Решения уравнений (15.145) совпадают с соответствующими
решениями в теории свободных полей с заменой операторов а+, Мит, д. на
коэффициенты операторного разложения в (15.23), вычисленные при ^=0.
Чтобы найти f в произвольный момент времени t, положим2)
') Отметим, что во второй строке цепочки равенств (15.144) мы, совершив
комплексное сопряжение, явно выделили нелинейный оператор К¦ В силу
(15.134) Г* = -Г.
2) Знак в первой экспоненте отличен от знака в аналогичных формулах Для
ЯР и С. Это связано с тем, что при обращении времени нужно рассматривать
смещение аргумента t 0 -*-t, а не как при остальных пре-
образованиях симметрии.
f о^а (*' ^"о (*> 0)>
/оф (X, 0) fol = ± ф (X, 0), /оф (*, 0) /(Г1 = Т ф (*, 0), ГоА(х, 0)/с;1
= -А(х, 0), f0A(x, 0)/сГ' = +А(ж, 0),
(15.145)
(15.146)
132
взаимодействующие поля
[ГЛ. 15
Легко видеть, что такой вид оператора f приводит к выполнению всех
требуемых условий. Проверим, например, выполнение равенства (15.133):
/Фа(*, О/"1 = e~lHtf ф (ж, 0)/~Уя' = *=е-тТа^^{х, 0) eiHt -
= 7'ар%(*, - 0-Точно так же получаем, что
/ф (ж, о = ± ф (ж, - /) и f А (ж, t) У-1 = - А (ж, - /).
Если удовлетворяет условиям (15.122) и (15.123), то он представляет
оператор симметрии теории. В этом случае
[/,#] = 0 (15.147)
и
г=и
§ 101. /С^-теорема
Легко проверить, что электромагнитные взаимодействия, а также модельный
лагранжиан (15.30) я-мезон-нуклонного взаимодействия инвариантны
относительно каждого из преобразований симметрии f, .С: и рассмотренных в
предыдущих параграфах на примерах различных взаимодействий. Разумеется,
всегда можно ввести в члены со взаимодействием несколько чисто мнимых
констант или матриц ys и тем самым нарушить инвариантность какого-либо
дискретного преобразования симметрии, сохранив при этом инвариантность
теории относительно преобразований Лоренца и пространственно-временных
смещений. Замечательным фактом, однако, является то обстоятельство, что
произведение f, С; и 9* по-прежнему остается преобразованием симметрии в
любой теории, для которой выполнены следующие условия:
1) теория должна быть локальной, инвариантной относительно собственных
лоренцевых преобразований, и в ней должна быть определена нормально-
упорядоченная эрмитова лагран-жева плотность;
2) при квантовании полевых уравнений используется обычная связь между
спином и статистикой, например поля Максвелла и Клейна - Гордона должны
квантоваться с коммутаторами, что приводит к квантовой статистике Бозе -
