Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 43

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 138 >> Следующая

теории, не может быть линейным. Действительно, рассмотрим, например,
[И, <рг(х, /)] = -/ (15.119)
Для унитарного оператора °16, который оставляет действие инвариантным и
преобразует поля q>r(x,t) в W,s<ps(x,.t') = = aU(^r{x,t)<U-{, должно
выполняться соотношение
фДж, 01 =+ / dVsidXt; п • (15.120)
Для того чтобы это соотношение совпадало с (15.119), необходимо чтобы
оператор °U переводил Н в -Н. Это, однако, является неприемлемым с
физической точки зрения, поскольку как до, так и после преобразования
собственные значения гамильтониана должны оставаться положительными, по
отношению к вакууму. Поэтому, как и в уравнении (5.14), следует
отказаться от требования унитарности f, вводя, в дополнение к оператору
°U, оператор комплексного сопряжения К,
§ 106] ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 12?
действующий на все с-числа1). П,ри этом, если
? = <UK и = (15.121)
то перестановочное соотношение (15.119) под действием преобразования f
остается инвариантным. На языке лагранжевой плотности (15.69), включающей
взаимодействие с внешним полем, инвариантность теории при обращении
времени означает, что в этой теории существует оператор f, оставляющий
коммутационные соотношения неизменными и удовлетворяющий условиям
fS{x, t)f~x = Z(x, -t), (15.122)
fk(x, = -t). (15.123)
Отметим, что в правиле преобразования электромагнитных токов (15.123)
заряды не меняют знака при обращении времени, в полной аналогии с
классической теорией. Действительно, при обращении времени внешнее
электромагнитов поле преобразуется как
Аи (х, t)->Av' (х, - t) (15.124)
поэтому, если ток преобразуется по (15.123), то
/й (*, о (х, /)-*- + и (х> - о(*> " О-Найдем далее изменение действия:
U)f~' =
ts
- ^d3xdt3?(x, -t)= ^ d3x dt 9? (x) = /(- tu - t2). (15.125)
t\ ti
Новое действие /(-1\,-t2) отличается от J(t2,t\) только сдвигом по
времени - операцией, которая также является преобразованием симметрии
теории. Мы видим, таким образом, что выполнение соотношений (15.122),
(15.123) достаточно для инвариантности при обращении времени.
Построим явный вид оператора f для различных полей, обсуждавшихся до сих
пор. В случае электромагнитного поля
?А(х, t)f-l = ~A{x, -0. (15.126)
поскольку, согласно (15.123), токи, генерирующие поля, меняют знак.
Соотношение (15.122) выполняется для максвелловского лагранжиана (14.9) в
поперечной калибровке. Преобразование f благодаря наличию оператора К
оставляет инвариантными
') Оператор К является нелинейным; оператор f называется поэтому анти-
ДИнейным или антиунитарным оператором. См. [48-50].
128 ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ [Ел. 15
перестановочные соотношения (14.13) и (14.17). Переходя в импульсное
пространство и подставляя разложение (14.33) в (15.126), имеем
?*<¦*•')Г' =) vlfe-Z "<*.
+ <lla+ (к, Я) <и~'е~ш+л'*\ = - А (х, - /) =
. 2
= - J ^ е (ft, Я) [a (ft, Я) <>*"<+<*¦•* + а+ (/г, Я)
Л=1 (15.127)
Вспомнив наше соглашение (14.31) о векторах поляризации г (k, 1) = -е (-
к, 1), г (к, 2) = + e(-ft, 2),
получаем
Ш{k, 1)= + а (- ft, 1), Ш(к, 2)(U~l = -a(~k, 2).
(15.128)
Эти уравнения по своей форме совпадают с уравнениями (15.78) для
оператора четности, поэтому их решение по аналогии с (15.83), (15.84)
выписывается немедленно:
°IL = expj-2^- ^ d3k [а+ (к, 1 )a(k, 1 ) - a+(k, 1 )a(-k, 1) +
+ а+ (к, 2) а (к, 2) + а+ (к, 2) а (- к, 2)] (15.129)
В случае невзаимодействующего эрмитового поля Клейна - Гордона уравнения
(15.122) и (15.123) выполняются, если положить
/ср(*, 0 = ± <р (*, -0- (15.130)
Для заряженного же поля правило преобразования тока
(15.123) означает, что
/ф(*, 0f' = ±q>*(*,-о. (15.131)
Объединяя эти два уравнения, получаем
[Ф. (ж, 0 I Г + Ф1 (*, - 0 *1
Фг (х> г) /_1 = ± -Ф*(*. -0 . (15.132)
Фз (ж, .0 J L + фз (*, -0-1
причем фаза в правой части может быть выбрана произвольно. При построении
явного вида оператора f нужно повторить выкладки, которые были сделаны
для электромагнитного поля.
§ 1001 ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ 129
Рассмотрим далее спинорное поле. Оператор f определяется следующим
образом:
/ФЛ*, t)f~l = Ta^{x, -t): (16.133)
Кроме того, он должен удовлетворять соотношениям (15.122) и (15.123) и
оставлять инвариантными антикоммутаторы (13.53) и (13.54). Легко
проверить, что все эти условия можно выполнить, если матрицу Г
выбрать в том же виде, что и в одночас-
тичной теории (см. (5.15)), а именно:
Г = гуу3, Гу/-1 = ур = у**, Г = Г+ = Г"1 = -Г, (15.134)
причем используется представление, в котором мнима только матрица у2.
Проверим, например, уравнение (15.123)
?k(x,
= Ф+ (¦*, (уоУц)* Гф(*. - t) - (0 | фуйф 10) =
= ф (дс, - t) удф (дс, - () - <0 | 'фУц'ф |0) = /д (дс, - t).
Отметим, что правило преобразования (15.133) отличается от аналогичного
правила в одночастичной теории: ф(дсЛ) -* ->-Гф*(дс,-t). В теории поля
преобразование ф->Гф+ является неприемлемым, поскольку оно переводит,
например, покоящийся электрон в позитрон.
Переходя в (15.133) к импульсному пространству, получаем
$ vi? Vt*>"-*0-.
+ Ш+(р, s)<U~lv*(p, s)e-lEt+ipx'\=*
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed