Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[ф"(*, /), Ai{x', 0] = 0, [фа (х, t), Ai(x', 0] - 0. (15.10)
Эти соотношения непротиворечивы, поскольку и Лг есть независимые
канонические переменные. Как уже было отмечено, скалярный потенциал Ф не
является независимым, а определяется через ф посредством соотношения
(15.8) и потому удовлетворяет коммутационным соотношениям
[Ф (х, t), At (х', 0] = [Ф (х, 0, At (х', 0] = 0,
" (15.11)
[Ф (X, t), фа (X', 0] = - 4л , х х,\ Фа (*', t).
Переходя, согласно каноническому методу, к гамильтониану и повторяя те же
выкладки, что и в теории свободных полей, получаем
откуда следует, что
Ж = ф+ (- to • V + No) Ф + V" (Е2 + В2) + Е • ФФ + вофУцфЛ*-
(15.13)
В результате находим выражение для гамильтониана:
Н d3xЖ =
= J d3x { ф+ (х) [а- (у V - е0л) + No] Ф (*) + у [Е2 (х) + В2 (*)] },
(15.14)
причем в (15.14) учтено, что член Е-\Ф при интегрировании
94
взаимодействующие поля
[ГЛ. 15
по частям дает - еоф+фФ и, кроме того, опущен несущественный
поверхностный член').
Выражение (15.14) на первый взгляд кажется удивительным, поскольку оно
явно содержит только связь тока электронов с поперечным векторным
потенциалом. Возникает вопрос, где же содержится электромагнитное
взаимодействие между зарядами. На самом деле оно включено в член с
электрической энергией
E2d3x. Чтобы пояснить это, разложим Е на поперечную и
продольную составляющие:
E = Ei + Et, ?,sr-V(r), Et^-A. (15.15)
Тогда полная энергия поля представляется в виде суммы двух членов
у J d3x (Е2 + В2) = j J d3x Е\ +1 J dzx (?? + В2), (15.16)
причем член с ErEt после интегрирования по частям обращается в нуль.
Первый член в первой части выражения (15.16) равен энергии, связанной с
кулоновским полем. Действительно, используя теорему-Гаусса и выразив его
через заряды, получим
t) -ф (ж, 0 ф+ (у, t) 1)3 (у, t)
W=T\ -
= A[dtxd3 PfrJPfo '>
8jt J ° Xa У \x-y\
Второй член в (15.16) равен полной энергии поперечного поля излучения,
связанного с током / = ф+аф, и имеет тот же вид, что и в случае
свободного поля.
') Квантовая теория связанных электромагнитного и клейн-гордоновского
заряженного полей во многих отношениях похожа на теорию фотонов и
электронов, и мы не будем ее здесь обсуждать (см., например, [7]).
Отметим только, что в этой теории возникает то неприятное обстоятельство,
что подстановка (15.1) приводит к членам в лагранжиане взаимодействия,
содержащим производные; при этом лагранжева плотность имеет вид
s=[(^; ~ г'е°л0 ф1 VJf+ie^)ф] - ~
- 7 ^ " Ш (?) ~ ' 7 V"]+
+ [- Mv (ф* - (-fjr) ч>) + 4р*<мх].
Поскольку второй член в 3, описывающий взаимодействие, содержит
производные, выражение для канонических импульсов в этом случае
изменяется;
дЗ 33
п г = ф* - гМоФ*. я* = =" Ф + 1еаАйу.
Sr,2 ,3 4 С j3 ,3
Ei d х - \dxdy
Ф (ж,
ЛОГЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ
95
§ 90. Лоренцева инвариантность
и инвариантность при трансляциях
С помощью канонической процедуры мы получили оператор энергии Н (15.14).
Аналогично можно определить оператор импульса
Р= J d3x(-i$+Vq + EtXB). (15.17)
Поскольку взаимодействие не содержит производных, это выражение совпадает
с суммой операторов импульса свободных полей (13.46) и (14.21).
Соотношения Гейзенберга
[Л*. ф(*)] =
atf(x) (15Л8)
[P., Ak(x)] = -i^-,
выполнение которых необходимо в трансляционно-инвариантной теории, могут
быть выведены из коммутационных соотношений
(15.9), (15.10) и уравнений поля (15.3). Коммутационные соотношения и
уравнения поля, таким образом, образуют самосогласованный набор
уравнений, на которых основывается наша теория.
Чтобы проверить лоренцеву инвариантность, рассмотрим тензор углового
момента, который можно построить, используя теорему Нетер (см.
(11.56) и (11.57)). Пространственные компоненты M'i (г, / -
1, 2, 3) совпадают с суммой операторов угло-
вых моментов для свободных частиц. Поскольку коммутационные соотношения
также не изменяются по сравнению с теорией свободных частиц, соотношения
(11.72) и (11.73) для трехмерных вращений сохраняют свой вид.
Взаимодействие приводит к дополнительным членам в генераторах М0к (k = 1,
2, 3) лоренцевых преобразований, связывающих между собой движущиеся
системы. Имеем
= РЧ-^ d^x [хкЖ(х) - - j ф (х) (*)], (15.19)
где Ж - гамильтонова плотность (15.13). Выполнив бесконечно малое
преобразование Лоренца, генерируемое операторами М0к в (11.72), мы снова
обнаруживаем, что электромагнитные потенциалы
А*" = (ФМ, А(х))
претерпевают градиентное преобразование, которое восстанав-
ЙЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЙЕ ПОЛЯ
(ГЛ. 15
ливает поперечную калибровку в новой координатной системе [33].
Аналогично уравнению (14.25) для свободного поля получаем
U (е) А11 (a) U~x (е) = А11 (х') - e|lvAv (х') + ЩК' ,
дхи
где')
Л(*. = (15.20)
Дираковский оператор гр (л:) в дополнение к лоренцеву преобразованию
также подвергается фазовому преобразованию:
U (е) ф (*) U~x (е) = [1 - ie0A (х, в)] S~x (е) ф5 (х% (15.21)
которое необходимо для того, чтобы уравнения поля преобразовывались под
действием оператора U ковариантным образом, например;
