Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 28

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 138 >> Следующая

чтобы убедиться в этом, достаточно построить состояние
Ф1.*х = а+(6, Я)Ф0 = а+ (k, Я) |0) (14.40)
СПИН ФОТОНА
85
и показать, что
2
Р*(r)1, kh = S d3k' k№ ? a+ (*'• *-')a &'• %r)a+ v I'°> = ^ф1. kx
V-l
(14.41)
§ 86. Спин фотона
Фотоны отличаются от квантов клейн-гордоновского поля в нескольких
отношениях. Поскольку они удовлетворяют соотношению Эйнштейна k^ = 0, их
масса покоя равна нулю. Кроме того, векторный потенциал А (х)
действителен и при квантовании становится эрмитовым оператором. Поэтому
фотоны не несут заряда и похожи в этом отношении на нейтральные мезоны,
которые возникают при квантовании действительного поля Клейна-Гордона.
Другой отличительной чертой является наличие у каждого фотона вектора
поляризации е(&, А), который связан со спиновым угловым моментом. В
частности, векторный характер потенциала А ведет к тому, что фотоны имеют
единичный спин; при этом условие поперечности устраняет одну из степеней
свободы. Проекция спинового углового момента на направление
распространения фотона не может равняться нулю, а равна только ±1. Чтобы
показать это, рассмотрим оператор углового момента (14.22) и вычислим
компоненты углового момента однофотонного состояния
М12Фи ы = [М12, а+ (k, А)] 10), (14.42)
причем будем считать, что импульс фотона параллелен третьей оси, т. е. kx
- сo(t - я3). М12 состоит из двух членов, первый из которых можно
отождествить с орбитальным угловым моментом. Его проекция вдоль
направления движения равна нулю, что можно проверить прямым вычислением
коммутатора. Остается только вклад спиновых членов, который с помощью
(14.22) и
(14.33) приводится к виду
[М12, а+ (k, А,)] =
Sj3 - ikx ¦*-*¦ <-"¦
4==Г [s' д*А* (х) - s2 (k, А) до А1 (X)]. (14.43)
у2й (2я)3
Используя (14.34) и определение векторов поляризации (рис. 14.1),
получаем
[М12, а+ (k, А)] = ie' (k, А) а+ (k, 2) - /е2 (k, А) а+ (k, 1).
(14.44)
86. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 14
Образовав линейные комбинации
ак ^ = ^а+ ^ ia+ 2^'
, (14.45)
a+(k) = -j=r[a+(k, 1) - ia+ (k, 2)],
которые описывают право- и левополяризованные волны, имеем [М12, а+ (k)]
= + а+ (k), [М12, а+ Щ = - а+ (k), (14.46)
откуда следует, что проекция спина вдоль направления движения для право-
поляризованного фотона равна +1, а для левополяризованного равна -1.
§ 87. Фейнмановский пропагатор для поперечных фотонов
Для того чтобы описать развитие в пространстве и во времени состояния,
содержащего поперечно поляризованный фотон, мы рассмотрим фейнмановский
пропагатор. Так же как в § 75, где мы рассматривали клейн-гордоновские
кванты, построим амплитуду для поперечного фотона, который рождается в
точке х с проекцией поляризации р и движется вперед во времени в точку
х', где он поглощается, имея при этом проекцию v:
<0 | (х') (х) | 0) 0 (i' -1). (14.47)
Если t > V, то мы строим амплитуду для фотона, рожденного в точке х' с
проекцией v и поглощенного в точке х с проекцией р:
(0 I Ар (х) Av (х') 1 0) 0 (/ - О- (14.48)
Сумма выражений (14.47) и (14.48) определяет фейнмановский пропагатор
iDl; (х', х)Ч1 = <01A v (х') (х) | 0) 0 (t' -t) +
+ <0 | (х) Av (х') | 0) 0 (t - f) = <0 | T (Av (x') (*) |0),
(14.49)
где T означает хронологический оператор, определенный в
(12.72) и (13.71).
Далее найдем явный вид Df (х', x)v(i, используя разложение полей по
плоским волнам
Df (х', x)vm. =
=-1 \ 2^w Е {k'6¦* к) [е {f ~t] e~ik (х'~х)+
Х-1,2
+ B(t - О е1'* <*'-*>]. (14.50)
§ 87] ФЕЙНМАНОВСКИЙ ПРОПАГАТОР ДЛЯ ПОПЕРЕЧНЫХ ФОТОНОВ
87
В калибровке излучения временная компонента векторов ev(k, X) равна нулю
ev (k, X) = (0, 8 (k, X))
и условие поперечности фотона (7.54) зависит только от направления
вектора k, а не от частоты со. Фиксируя систему отсчета, можно записать
фейнмановский пропагатор в виде четырехкратного интеграла
2
Df (х' - *)vll = J -Ц- ? ev (k, X) е, (k, X). (14.51)
к=1
Функция распространения, записанная в виде (14.51), который мы впервые
ввели в гл. 6, а затем использовали в гл. 12, будет часто встречаться в
последующих вычислениях. Выражение (14.51) не лоренц-инвариантно,
поскольку пространственные компоненты векторов ev(k,X) определены в
фиксированной системе отсчета. Для того чтобы явным образом отделить
координатную зависимость, введем в той системе отсчета, в которой мы
выполнили квантование, единичный времениподобный вектор = (1, 0, 0, 0).
Тогда для данного имеется четыре независимых ортогональных единичных
вектора su(k, 1), e^(k, 2), и
Далее получаем
(14.52)
У(М2 - k2 '
2
Yj ev (k> X) eH X) = -gvn + Mu - Mu =
X-l
_ _ Mu , {kr\) (Mu + nvV
2_Ь2+ IhnV - k* (knV - h2- (14-bo)
(kr\)2 - k2 (kr\)2 - k2 (kr\)2 - k2
Подставляя (14.53) в (14.51), имеем
Df (x x)v^ §\\iDf (x x)
Г d4fe e~'k {x'~x) 624v4u - (*Ti) (Mu + Mu) + Mu
J (2я)4 k2 + Ie (kr))2 - k2
В этом выражении первый член
gvllDP (х' - х)= lim (- gv(l) AF (х' - х, т)
(14.54)
т!-> 0
есть обычный фейнмановский пропагатор, который использовался при расчетах
электромагнитных эффектов в гл. 7, 8, 9, причем Af(x' - х,т)-пропагатор
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed