Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
системами, генерируется операторами
ЛГ°* =\d?x: р ? А'-Щ- - (А2 + (V X A)2)j :. (14.24)
В действительности при лоренцевых преобразованиях Ай преобразуется не как
4-вектор, но приобретает дополнительное калибровочное слагаемое1). При
бесконечно малом лоренцевом преобразовании с генераторами Мок (11.72) и
(11.73)
U (г) Ац (*) U~] (е) = (х') - e"vAv (хГ) + ^ (*/ е) , (14.25)
дх"
где А(х',е)-операторная калибровочная функция2). Ясно, что калибровочный
член в (14.25) необходим, поскольку, если
Ф (*) = А0 (х) = 0,
то
иФ(х)и~1 = 0 (14.26)
для любого унитарного преобразования U. Структура выражения (14.25)
гарантирует лоренцеву ковариантность градиентно-
¦) Несмотря на это, мы будем по-прежнему называть преобразования,
генерируемые операторами (14.24), лоренцевыми,
2) См. задачу 2 к данной главе.
82
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 14
инвариантных уравнений Максвелла. Единственное дополнительное требование
заключается в том, что
Г-А'(х') = 0 (14.27)
и что одновременные коммутационные соотношения (14.13) и
(14.17) остаются по-прежнему справедливыми в штрихованной системе
координат. Выполнение этих условий может быть проверено непосредственным
вычислением. Таким образом, результаты, полученные для квантовой
электродинамики в калибровке излучения двумя наблюдателями, находящимися
в движущихся друг относительно друга системах О и О', могут быть связаны
между собой, поскольку всегда существует унитарное преобразование,
связывающее состояния в системах О и О'.
Нетривиальные вычисления, ведущие к выражениям (14.21) - (14.27), а также
проверку ковариантности одновременных коммутационных соотношений мы
оставляем читателю в качестве упражнения.
§ 85. Разложение в импульсном пространстве
Разложив потенциалы по плоским волнам и наложив коммутационные
соотношения (14.13) и (14.17), мы можем интерпретировать, как и в теории
Клейна - Гордона, коэффициенты разложения как операторы рождения и
уничтожения. Отличительной чертой максвелловской теории является, однако,
то, что эти кванты несут целый спин.
В калибровке излучения вектор A (x,t) чисто поперечен. В разложении
A(x,t) по плоским волнам:
2
А (х, 0 = J d3k ? е (к, к) А (к, к, t) elk * (14.28)
x=i
для каждого значения k два единичных вектора & (k, Я), к - 1,2,
ортогональны к
&(k,k)-k = 0, (14.29)
так что V-A = 0. Удобно выбрать эти векторы также ортогональными друг
другу для каждого к
е (k, к) • е (к, к') - 6м'. (14.30)
Тогда векторы e(k, 1), е(&, 2) и k = k/\k\ образуют трехмерный
ортогональный базис, показанный на рис. 14.1. Условимся также считать,
что, как показано на этом рисунке,
е (- k, 1) = - е (к, 1), е (- к, 2) = -f- е (k, 2). (14.31)
§ 85]
РАЗЛОЖЕНИЕ В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
83
С учетом (14.30) это означает, что
е (k, X) ¦ г (- к, X') = (- 1)* 6U'. (14.32)
Из уравнений Максвелла следует, что А(х) в калибровке излучения по-
прежнему удовлетворяет волновому уравнению
ПА = 0,
поэтому можно записать Г d3k А
А J V2u) 12л) ' L е ^ ^ + а ^
К= 1
(14.33)
где
&0 = tt> = lA| и k2 = к^ = 0.
Далее, так же как и в теории Клейна - Гордона, мы можем разрешить (14.33)
относительно a(k,X). Используя (14.30) и
Щ2)
г(к,1)
Рис. 14.1. Единичные векторы поляризации фотонов с импульсами k и -k.
(14.32), получим вначале о ^ d3x eikx& (к, X) • А (х) -
'5
= Л/2^а(к, А) + (-1 fa+(-k, Х)е(tm)\
i \ d3x eikx& (k, X) - А (х) ¦
д/i^ [а (к, X) - (-if а+ (- к, X) е^\
откуда а I
ИМИ
S fi ikx
е (А, я) • [о Л (X) + /Л (х)\.
3" ikx <-*
d х е
V2(r) (2я)
а0е(/г, Я) • Л (а),
(14.34)
84 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. 14
Для коммутационных соотношений между a(k,K) и а+(?,Я) получаем из (14.13)
и (14.17)
[а (к, Я), a+(k', Я')] =
d3x d3xei(kx~k'x,)
-J
=-(со' + ю) Yj et(k, Xje^k', -x').
2(2n)"Vcoco 1, / = 1,2,3
При вычислении интеграла используем определение (14.16), тогда, учитывая
соотношения ортогональности для векторов поляризации, получаем
[a (k, Я), а+ (k', Я')] = 63 (k - k') 6U'. (14.35)
Аналогично получаем
[a (k, Я), a (k', Я')] = [а+ (k, Я), а+ (kЯ')1 = 0. (14.36)
Таким образом, коэффициенты разложения для двух поперечных компонент
векторного потенциала квантуются с теми же коммутационными соотношениями,
что и в теории Клейна - Гордона. Поэтому мы можем интерпретировать а+(?,
Я) и a(k, k) как операторы рождения и уничтожения квантов с энергией со и
импульсом k. Действительно, с учетом (14.3), (14.21) и (14.33)
гамильтониан (14.12) может быть записан в импульсном пространстве в виде
Н = ^ ^y~:(E2 + В2): со Y а+ *-)а (k> *-)• (14-37)
Х-=1
Аналогичным образом для полного импульса получаем
2
P=\d3x:EXB-. = \d.3kkYa+{k, Я)a(k, Я). (14.38)
Я=1
Вакуумное состояние, т. е. состояние с наинизшей энергией, есть
собственный вектор операторов Н и Р и удовлетворяет уравнению
a(k, Я)Ф0 = 0 (14.39)
в полной аналогии с уравнением (12.17) для теории Клейна - Гордона.
Оператор a+ (k, Я) интерпретируется как оператор рождения фотона с 4-
импульсом kпричем k2 = = 0. Для того
