Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
U (е) ф {х) [iV - е0А (л:)] ф (х) U~x (е) - ф {х') [iV*- - во А (Д)] ф
(л:').
Чтобы дополнить проверку лоренцевой инвариантности квантовой теории поля,
необходимо еще проверить инвариантность одновременных коммутационных
соотношений2) (15.9) и (15.10). Соответствующие вычисления весьма
громоздки и не совсем тривиальны, мы оставляем их читателю в качестве
упражнения. Мы не выписываем здесь результатов, поскольку заранее
известно, что правило "минимальной" подстановки (15.1) обеспечивает
градиентную инвариантность и гарантирует релятивистскую ковариантность
физических результатов даже в том случае, если при квантовании
используется специальный выбор калибровки.
§ 91. Разложение в импульсном пространстве
При включении взаимодействия разложения в импульсном пространстве (13.50)
и (14.33) для ф(х) и А(х) следует модифицировать, поскольку их
координатная зависимость не имеет больше вида плоских волн. Более того,
так как точные решения системы связанных уравнений (15.3) неизвестны, мы
вообще не знаем явного вида координатной зависимости решений. В этой
') При вычислении этого выражения полный дифференциал V-(ЕФ) в (15.13)
дает нуль, в отличие от члена Е{ • Е[ = V • (ЛФ).
2) Мы не можем, как в теории свободных полей, выписать явный вид ко-
вариантных коммутаторов для времениподобных интервалов, поскольку решения
уравнений движения неизвестны.
§ 91] РАЗЛОЖЕНИЕ В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 9?
ситуации удобно перейти к трехмерному интегралу Фурье, считая время
фиксированным, например t = 0, и описывать развитие амплитуд во времени
гейзенберговскими уравнениями
(15.18). Формально интегрируя эти уравнения, получаем
ф(ж, t) = eiHt0p(x, 0)e~iHt, А(х, t) = eimA(x, Q)e~im, (15.22)
после чего можно использовать разложения по плоским волнам вида (13.50) и
(14.33):
ф(лс, 0) = ? \-?~k'\Jjr \.ЫР, s)u(p, s)e+ip-x +
±s р
+ d+ (р, s) v (р, s)e"'/' *])
ф+ (х, 0) = Yj S -^3/2 Д/-jr t6+ (p> s) " (p> s) \0B~l,'x +
+ d(p, s)v(p, s) y0e+,p'*l 2 (15.23)
л<*'0) = 1уЙг^е(''ч["<''Че+'*''+
Ap = 1
+ a+(k, X)e~ik-*],
i(*' °H viSr (-to,? •<*¦
-a+(k, X)e~ik*],
где Ep = Vlp-P + m2, o> - | Л I, u(p, s) и &{k, X) определены выражениями
(13.51) и (14.29) и т. д. Коэффициенты b(p,s), d(p, s), a(k, Я) в
операторном разложении и эрмитово сопряженные коэффициенты удовлетворяют
тем же перестановочным соотношениям (13.52), (14.35) и (14.36), что и в
теории свободных полей. Кроме того,
[a (k, X), b(p, s)] = [a+(6, X), b(p, s)] = [a(6, X), d(p, s)] =
= [a+(6, X), d (p, s)] = 0. (15.24)
В результате канонические коммутационные соотношения (15.9) и (15.10)
справедливы при t = 0 и, более того, согласно (15.22), выполняются в
любой момент времени t.
Поля, из которых выделена их временная зависимость, используются в
шредингеровском представлении. Они совпадают с гейзенберговскими полями
(15.22) при t = 0.
98
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ
(ТЛ. 15
Формальная связь между разложениями (12.7), (12.57),
(13.50), (14.33) и (15.23) может быть суммирована следующим образом:
Свободные поля a{k, к)е~ш-> а+ (k, Х)еш-> b(p, s)e~iat->-
Коэффициенты в полученных операторных разложениях теперь уже, однако, не
имеют простого смысла операторов рождения и уничтожения одиночных квантов
с фиксированной массой, как это было, например, в (14.41).
§ 92. Собственная энергия вакуума;
нормальное упорядочивание
В квантовой теории поля на каждом шагу можно столкнуться с противоречием
- вот одно из них. Возьмем теорему Гаусса, записанную в операторной форме
(15.7), и вычислим среднее значение по вакууму
<0 | V • ? 10) = е0 <0 1 (ас) -Ф (x) 10) = е0 Z 1<0|ф+ (х)\п)\\
П
где сумма берется по всем возможным состояниям. Мы видим, что вакуум
обладает зарядовой плотностью, которая к тому же еще и бесконечна.
Физический смысл заряда вакуума очевиден - это бесконечный
электростатический заряд моря электронов с отрицательной энергией.
Возникающую при этом неприятную ситуацию можно, однако, легко устранить.
Изменим нашу теорию, добавив внешний однородный заряд противоположного
знака, который нейтрализует заряд вакуума. С формальной точки зрения для
этого достаточно во всех предыдущих уравнениях, включая и уравнения
Максвелла, сделать замену
Yn'H. (15.26)
т. е. антисимметризуя электрический ток относительно перестановки
дираковских полей, что приводит к вычитанию бесконечной с-числовой
константы из оператора тока фУиФ- Указанная модификация фактически
эквивалентна использованию нормального порядка в операторных множителях.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим снова поля (15.22) и их
разложения (15.23) и заметим, что произведение взаимодействующих полей,
каждое из которых взято в один и тот же момент вре-
Взаимодействующие поля eiHta(k, X)e~iHt, eiHta+ (k, X)e~tHt, eilitb(p,
s)e~iHt.
СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ ВАКУУМА
99
мени t, может быть применением оператора еш' ... е~ш1 приведено к моменту
времени t = 0. Но, согласно (15.24), при t = 0 алгебра взаимодействующих
полей совпадает с алгеброй свободных полей. Поэтому нормальное
