Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
бозона с нулевым спином, введенный в гл. 9.'
Зависимость Df от содержится во втором члене выра-
}цения (14.54). Как показывает последующее рассмотрение, при
88
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 14
вычислении физических амплитуд в теории поля пропагатор
Df (х' - x)Vil всегда стоит между сохраняющимися токами, которые являются
источниками электромагнитного поля. В результате члены, пропорциональные
ku и kv, исчезают в силу сохранения тока. Это обстоятельство было
отмечено нами ранее (см. (7.61)) и использовалось при вычислении
поляризации вакуума
(8.9). Остающийся в (14.54) член, зависящий от rj, в системе координат,
где т^ = (1,0, 0,0), равен
Г d4k e~tk(x~x) - gvoguoG (*'- 0
~ J W ^" 4*1*'-*r • (R55)
Это выражение имеет вид обычного статического кулоновского взаимодействия
между двумя зарядами. При вычислении полного взаимодействия между двумя
зарядами в точках х и х'
(14.55) сокращается с кулоновским взаимодействием, которое необходимо
учесть в дополнение к полю излучения. В результате пропагатор сводится к
лоренц-ковариантному первому члену в (14.54).
Указанное обстоятельство, которое будет строго доказано в гл. 17 для
произвольных S-матричных элементов, позволяет получать на самом деле
лоренц- и градиентно-инвариантные выражения при вычислении физических
амплитуд рассеяния. Дополнительные, зависящие от калибровки члены в Df
(х' - x)vv, вносят вклад в ненаблюдаемые величины, такие, как константы
перенормировки Zj и Z2, введенные в гл. 8, которые не градиентно-
инвариантны. Их появление в функции Dpvll является расплатой за
квантование уравнения Максвелла каноническим методом. Все эти
нежелательные члены, однако, исчезают при вычислении скоростей перехода и
сечений, которые непосредственно могут быть измерены на опыте.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить коммутационные соотношения между напряженностями поля и
показать, что они обращаются в нуль для пространственно-временных
интервалов.
Ответ.
IВ, (*'), В, (х)] = Г б ,/V'V - Д--2-1 ш (х' - х),
L dXj]
з
IE, В, (*)] - - * ? .
ОХ0 k-l
(?, (rt в, wi - (*</-5^ - ??) 'О <*' - 4
ЗЛДАЧЙ
2. Вывести выражения для операторов энергии-импульса и углового момента
(14.21), (14.22) и (14.24). Проверить, что при лоренцевых
преобразованиях потенциалы Аи (х) действительно преобразуются
по формуле (14.25) и
построить явные выражения для Л (ж', е) и Я(е). Дополнить доказательство
ковариантности максвелловских уравнений, проквантованных в калибровке
излучения, проверив равенство (14.27), а также ковариантность
одновременных коммутаторов. Учесть, что если e(iv = е0?, то
дЛ (х\ е) д f dzx дАк
дх'а 0к дх^ J 4я | х - х' | дх0
Непосредственным вычислением показать, что Mi/ и Мок коммутируют с Я.
3. Рассмотреть лагранжиан Максвелла с (нековариантной) "фотонной массой",
т. е. членом -Х2А2(х) (X2 мало). Проквантовать электромагнитное поле в
этом случае, используя только одно дополнительное условие А0 = 0.
Построить вначале гамильтониан и показать, что из гамильтоновых уравнений
дяй dAk
при X -> 0 получаются уравнения Максвелла с единственным исключением -*
добавлением членов с нулевой частотой в формулу Гаусса:
\Е = - VA (х) = X2V ¦ А (х).
Наложить канонические коммутационные соотношения, например
/ [я* (х, /), Aj (х/)] = б*/б3 (х - ж')?
и проквантовать как продольные, так и поперечные составляющие. Показать,
в частности, что возникающие при этом кванты поля подчиняются
дисперсионному закону ш2 = X2.
4. а) Решить уравнение Максвелла для того случая, когда электромагнитное
поле заключено между двумя бесконечными параллельными проводящими
пластинами, расстояние между которыми равно а. Проквантовать
электромагнитное поле с учетом граничных условий.
б) Вычислить энергию нулевых колебаний Е0 на единицу площади, используя
обрезание, зависящее только от частоты. Показать, что Еа имеет вид:
Яо = С,а + С2 + ^-§-,
где Ci и С2- величины, зависящие от обрезания, В4 = ->/эо - четвертое
число Бернулли.
в) Показать, что сила, действующая между (нейтральными) пластинами,
обусловлена только последним членом, и вычислить ее величину (см. [29]).
ГЛАВА 15
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ
§ 88. Введение
Теория одних только свободных полей лишена какого-либо физического
содержания. Физическая реальность раскрывается только посредством
взаимодействия между полями, к рассмотрению которых мы теперь и
приступаем.
При построении лагранжианов взаимодействий различного вида мы будем
руководствоваться аналогией с электромагнитным полем. Поэтому вначале
обсудим теорию электромагнитного взаимодействия заряженной частицы в
методе вторичного квантования.
В случае же неэлектромагнитных взаимодействий структуру членов со
взаимодействием лучше всего выяснять, используя факт существования
экспериментально наблюдаемых законов сохранения. Последние могут быть
введены в теорию посредством требования, чтобы лагранжиан обладал
определенного вида симметрией, поскольку для каждого непрерывного
преобразования симметрии теорема Нетер автоматически приводит к некоторой
