Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
интерпретации.
В . нашем изложении мы будем следовать канонической схеме квантования.
Метод Гупта - Блейера изложен во многих учебниках, например у Швебера,
Яуха и Рорлиха, Боголюбова и Ширкова, Ахиезера и Берестецкого [25-28].
Трудности при квантовании возникают из-за использования числа переменных
большего, чем число независимых степеней свободы. Электромагнитное поле
обычно описывается в терминах четырех компонент вектора потенциала Ац.
Хотя непосредственный физический смысл имеют напряженности поля,
определяемые тензором
ЗАц 3AV
**v " 3xv дхi* '
(14.1)
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. 14
именно потенциалы Ац естественным образом входят в члены с
взаимодействием и в амплитуды перехода. Мы уже сталкивались с этим
обстоятельством при выполнении расчетов в первом томе. Но четыре
компоненты не могут одновременно рассматриваться как независимые
переменные. Поэтому каноническая схема квантования приводит к ряду
трудностей. Именно с этими трудностями мы уже сталкивались при попытке
применить классический канонический формализм для максвелловского поля.
Все вышесказанное непосредственно связано с тем обстоятельством, что
разложение электромагнитного поля по плоским волнам содержит только
поперечные компоненты, т. е. волны, вектор поляризации которых
пространственно-подобен и ортогонален волновому вектору. Условие
поперечности накладывает ограничения на ориентацию вектора-потенциала.
Динамическими же переменными являются только две поперечные компоненты
вектора-потенциала, только их и нужно рассматривать при квантовании. С
другой стороны, не существует какого-либо инвариантного способа выбрать
два независимых поперечных вектора поляризации, отвечающих данному
волновому вектору, поскольку всегда существует набор выделенных
лоренцевых систем, в которых зануляется временная компонента каждого
вектора поляризации. Именно в этом месте и начинаются трудности с лорен-
цевой ковариантностью. Вскоре, когда мы детально рассмотрим квантование,
это обстоятельство станет даже слишком очевидным.
При последующем рассмотрении мы отбросим требование явной лоренцевой
ковариантности и выберем векторы поляризации фотона каким-либо
специальным образом. При этом мы исходим, однако, из лоренц-инвариантных
уравнений для максвелловского поля, и в конце концов, когда дым
рассеется, мы получим те же самые ковариантные правила вычислений,
которые были уже выведены в гл. 7, 8 с помощью более или менее
интуитивных соображений. Эти правила дают одинаковый результат во всех
лоренцевых системах.
§ 83. Квантование
Компоненты напряженностей электромагнитного поля Е и В образуют
антисимметричный тензор второго ранга, обозначаемый через
V -> - 0 Ех Еу Ez
-Ех 0 Bz ~ВУ
~Еу - Bz 0 Bx
1-Ег By ~вх 0
§ 83] КВАНТОВАНИЙ 77
Связь F^v(x) с векторным потенциалом А^(х) - (ф, А) дается, согласно
(14.1), уравнениями
Е = - Уф - A, B = VX4. (14.3)
Эти уравнения можно написать в виде двух уравнений Максвелла
\ХЕ=-В, \ В = 0. (14.4)
Два оставшихся уравнения Максвелла в отсутствие источников зарядов и
токов имеют вид
dF"v Q dxv
или
V.? = 0, УХВ = Ё. (14.5)
Ясно далее, что все компоненты поля удовлетворяют волновому уравнению
? ^vW = 0. (14.6)
Для данных напряженностей поля F^v(x) существует много потенциалов,
отличающихся друг от друга градиентным преобразованием
А11(х) = А11(х)+ -??&-, (14.7)
где А(х) -произвольная функция х и t. Уравнение (14.7) выражает
градиентную свободу в выборе векторного потенциала: если А^(х)
удовлетворяет уравнению (14.1), то ему удовлетворяет и Лц(*). Вопрос о
конкретном выборе калибровки мы пока оставим открытым.
Для того чтобы с помощью принципа Гамильтона вывести уравнения (14.5) из
лагранжиана, умножим это уравнение на бесконечно малую вариацию 6ЛЦ(^),
которая исчезает при ti и t%, и проинтегрируем по всему пространству и по
времени в интервале (tj, ti):
dxv
ti ti
t-i t<i
= -1 5 d*x F6F"y = -16 5 A (14.8)
ti ti
Отсюда видно, что подходящей плотностью лагранжиана для свободного
максвелловского поля является выражение
1 г. r>nv 1 (dA\t Му \ дЛ* 1
78
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
(ГЛ. 14
При таком выборе S принцип Гамильтона воспроизводит полевые уравнения
(14.5), если каждая из четырех компонент вектора Av(x) рассматривается
как независимая степень свободы.
Далее, используя стандартные правила, построим сопряженные импульсы
= =о, nk = _ дк _±A±.==Ek' (14.10)
дА0 дАи dxk
В результате для плотности гамильтониана получаем
з
?УтЦ-5р = ^-(?2+,В2) + ?- VO>, (14.11)
k=\
а сам гамильтониан равен
Н= = ^ d3x(E2 + B2), (14.12)
причем последний член в (14.11) исчезает при интегрировании по частям с
использованием уравнения Максвелла
VE = 0.
При квантовании максвелловского поля мы рассматриваем А^(х) как оператор
и вводим коммутационные соотношения между Ая и каноническими импульсами
пк. Попробуем близко следовать каноническому методу и рассмотрим
зануляющиеся одновременные коммутаторы
[А"(х, t), Av(x', /)] = 0,
