Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 19

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 138 >> Следующая

и пустого состояний равны 1 и 0 соответственно. Это произведение имеет
смысл оператора числа частиц, который обозначим
Оператор Na- отличается от оператора числа частиц для бозонов, поскольку
его собственные значения равны 0 и 1.
Теперь можно простым образом связать результаты, полученные на языке
одночастичных волновых функций иа(х), с нашим операторным формализмом.
Определим полевые операторы:
Тогда волновая функция uai(x, t) равна матричному элементу поля %(х, t)
между вакуумным состоянием Фо и одночастичным состоянием Фа.:
Действуя в том же духе, можно получить из поля "-частичную волновую
функцию (13.8), а также гамильтониан, собственные значения которого
совпадают со спектром оператора Я в (13.1). С этой целью рассмотрим
состояния, содержащие несколько частиц. Операторы а и а+ в (13.15),
(13.16) комму-
') Матрицы (13.15), (13.16) и соотношения (13.17) показывают, что
существует полная аналогия между операторами аа>, аф и матрицами Паули
Ох-iOy, Ох + ioу. Вакуумное состояние (13.13) отвечает спиновому
состоянию, в котором все спины направлены вниз; оператор aj
переворачивает спин a'-го состояния; таким образом, занятое состояние
отвечает спину, направленному вверх.
(13.17а)
(13.176)
(13.17В)
N
N
(Ф0, %(Х, t), Фа,) - "а,(*. t).
(13.19)
58
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
тируют с аа , а+, поскольку они действуют в различных
подпространствах состояний. Например, если i^j, то
Действуя на вакуум различными операторами а+, мы получим
волновые функции, которые характеризуются некоторым порядком состояний а.
При этом Фа^ в (13.20) симметричны при
перестановке индексов а,- и а/, в то время как состояние определенное
выражением вида (13.8), антисимметрично. Поэтому с математической точки
зрения удобно изменить операторы аа, а+ таким образом, чтобы они
удовлетворяли антиком-мутационным соотношениям [17] как в том случае,
когда они действуют на одинаковые состояния, так и в том случае, когда
они действуют на различные состояния. Это, в частности, означает, что для
различных состояний а и а' модифицированные операторы удовлетворяют
соотношениям
а не а+аф | 0) = + а+,а+1 0). Для того чтобы обеспечить знак минус в
формуле (13.21) и в то же время сохранить интерпретацию bt как операторов
рождения, положим
где т]а - диагональный в пространстве чисел заполнения оператор.
Подставляя (13.22) в (13.21), мы видим, что для выполнения условия
(13.21) необходимо, чтобы
Диагональный оператор (1 - 2Na) антикоммутирует') с а+, поэтому
Ьа Ьа' I 0) = Ьа'Ьа I 0),
(13.21)
(13.22)
для аг<а;. (13.23)
И
Оператор
Ьа = Ца^а ^чхПа
J) Оператор (1 - 2Na) аналогичен матрице Паули - аг.
§ 77] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ФЕРМИОНОВ 59
эрмитово сопряжен bt\ его можно интерпретировать как оператор
уничтожения. Оператор Ь%., действуя на свободное состояние Г?1 , дает
состояние Г*] с фазой +1 или -1, L -*а{ •- Лхг
которая зависит от того, четное или нечетное число частиц находится на
уровнях а < аг, поэтому состояние, в котором заняты уровни аг и а/;
антисимметрично при перестановке
индексов а{ и а;-. Операторы Ьа и b? удовлетворяют тем же
антикоммутационным соотношениям, что и аа и а+
(б?, bt} = {Ьа, Ьа) = 0, {Ьа, 6+} = 1. (13.25)
Более того, справедливы и более общие коммутационные соотношения
{Ьа, 6а'} = баа', {Ьа, 6а'} = {бJ, 6+'} = 0, (13.26)
которые могут быть проверены непосредственным вычислением. Например, при
а > а'
ЬаРа' + Ьа'Ьа = Vafla'\' + =
= ~ VV^a' + VWla^0- " > <*'¦
Оператор числа частиц в терминах 6 и 6+ равен просто
Na = aZaa = b?ba. (13.27)
Состояния
• • • ('?)"" • • • (ft)' Ф. - (r) ("..••¦."") 03.28)
являются собственными функциями оператора Na и образуют полный
ортогональный набор
N
(Ф(пр ..., hn), Ф("р ..., nN)) = n6w.
Образовав произвольную суперпозицию, получим
ф= Е с'(п1г..., "n)(6+)"n ... (б+У^Фо, (13.29) "r...,"N=o
причем коэффициенты с'{nv ..., nN) имеют смысл соответствующих амплитуд
вероятностей:
(ф, ф)= Е \с'(п1..............nN)|2 (13.30)
">..."м"0
60 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА [ГЛ. 13
и могут быть поэтому отождествлены с коэффициентами в сумме (13.9).
Неисчезающие матричные элементы операторов 6а и bt равны
, rtN), Ьа/}Ф (nv ..., "N)) =
(-)п'~к', если п" = п' для афаь и п =0; п' =1,
" как Ч (13.31)
0 в остальных случаях,
((r)(rti ^n)' ЬаФ(п1> •••> °n))
-(
(-У , если па = п'а для афак и "a^1'
О в остальных случаях,
N N
где " = 2 па, п' - Yu п'а> % ~ член упорядоченного набора
а=*1 а=1
{ctj, а2, an}, ak, - k'-& член набора {<Хр ..., а',}.
Точно так же как были построены одночастичные волновые функции (13.19),
можно построить и антисимметричные "-частичные волновые функции. С этой
целью введем полевой оператор <p(je, t), который отличается от (13.18)
тем, что операторы аа заменены в нем на взаимно антикоммутирующие
операторы Ьа:
N N
Ф (*, 0 = ? И a (*" О К, Ф* (ж, о = Z и* (х, t) 6+. (13.32)
а-1 а=1
Образовав матричный элемент между вакуумом и произвольным состоянием Ф
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed