Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 22

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 138 >> Следующая

{ф (х, 0. Ф (*', t')} = 0, {ф+ (ж, 0, Ф+ (*'. О} = 0. (13.54)
Как и в шредингеровской теории, мы интерпретируем Ь+ и d как операторы
рождения для электронов. В теории Дирака мы сталкиваемся, однако, с той
трудностью, что операторы d рождают состояния с отрицательной энергией.
Это легко увидеть, если выразить энергию и импульс в терминах операторов
b, d, b+ и d+. Подставляя (13.50) в (13.46) и используя (13.51), получаем
±s, ±s' и н
X[b+(p, s)a{p, s) yQeipx + d (p, s)v(p, s)y0e-'p*]x X [b (p', s') и (p',
s') e~tp x - d+- (p', s') v (p', s') etp x] =
= Y \dlpm[b+(p, s)b(p, s')u+(p, s)u(p, s')-
±s, ±s'
- d (p, s) d+ (p, s') v+ (p, s) V (p, s')] =
= ^ ^ d'p Ep Vb+ (P, s) b (p, s)-d (p, s) d+ (p, s)]. (13.55)
±S
Аналогичным образом
P== Yj \ d3Pp[b+(P> s)b(P< s) - d(P> s) d+ (P. s)]- (13.56)
±S
Из этих выражений и из (13.52) следует, что d{p,s) рождает частицу с
отрицательной энергией -Ер и импульсом -р, a b+(p,s) рождает частицу с
положительной энергией Ер и импульсом р, что же касается операторов
d+(p,s) и b(p,s), то они имеют смысл соответствующих операторов
уничтожения.
Отметим также, что гамильтониан в (13.55) не является положительно
определенным оператором. Это приводит к очевидной трудности в теории,
поскольку в этом случае всегда можно построить состояние с энергией,
меньшей любой наперед заданной, добавляя необходимое количество частиц с
отрицательной энергией. Тем не менее эту трудность можно устранить,
используя теорию дырок, которая обсуждалась в гл. 5. Согласно этой теории
вакуум определяется как состояние, в котором заполнены все состояния с
отрицательной энергией и свободны лишь уровни с положительной энергией.
Тот факт, что подобное определение вакуума в принципе возможно, суще-
68
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
ственньгм образом опирается на принцип Паули и метод квантования с
антикоммутационными соотношениями. При попытке квантования поля Дирака с
коммутаторами мы немедленно столкнулись бы с фундаментальными
неразрешимыми противоречиями. Согласно статистике Бозе - Эйнштейна, в
любое данное состояние всегда можно добавить неограниченное число частиц,
при этом для гамильтониана (13.55) не существует основного состояния с
наименьшей энергией. Связь между антикоммутаторами и теорией Дирака
является частным случаем фундаментальной теоремы в теории локального,
лоренц-инва-риантного поля. Эта теорема, впервые доказанная Паули в 1940
г., утверждает, что частицы с полуцелым спином подчиняются статистике
Ферми - Дирака, а частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе -
Эйнштейна1). В гл. 16 мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки
зрения.
Возвращаясь к теории дырок, перепишем 4-вектор энергии-импульса в виде
Pu=?S^PUf>+(p, s)b(p, s) +
±S
+ d+ (p, s) d (p, s) - {d (p, s), d+ (p, s)}]. (13.57)
При действии на вакуум первые два члена в (13.57) дают нуль, поскольку в
состоянии вакуума нет электронов с положительной энергией и дырок с
отрицательной энергией. Последний же член в (13.57) дает бесконечную
константу. Эту константу можно не учитывать, если все энергии и импульсы
отсчитывать от энергии и импульса вакуума. Выполнение же последнего
условия можно обеспечить, переопределив в терминах нормальных
произведений полевых амплитуд. Произведение операторов полей в нормальной
форме пишется так, что положительночастотные части
¦'+'" Z S л/~Ь{р, s)u(р, s)
ф<+> = V'1 - ? ( -^Цгг л/j- d(p, s)v (р, s) е~'рк
>) См. [22]. Если нарушить связь спина со статистикой в выражениях
(12.14) и (12.15) для квантов со спином 0, то 4-вектор энергии-импульса
не будет более представлять собой оператор, собственные векторы которого
описывают физические состояния системы, а сведется лишь к бесконечной
константе.
§ 79] РАЗЛОЖЕНИЕ В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 69
стоят всегда справа от отрицательно-частотных частей
1= 5 S i?k Vfd*(р•s) v (л s) е'"
*'->=J Vp W 6+{р-s) а (р's> е'"
Для антикоммутирующих полей нормальное произведение определяется так, что
каждый член меняет знак при каждой перестановке, необходимой для
приведения полей к нормальной форме, например:
: ¦ = C4+> + ^-><+) + СЧ"' - <Ч+)- (13.58)
При таком определении билинейная форма 4-вектора энергии-
импульса только с-числом отличается от
/^=?$d3pp4&+(p, s)b(p, s) + d+(p, s)d(p, s)l (13.59)
±S
Оператор b(p,s) уничтожает, а опепатор b+(p,s) рождает электроны с
положительной энергией; по аналогии с теорией Клейна - Гордона можно
ввести оператор числа частиц
Nw(p, s) = b+ (р, s) b (p, s).
Собственные значения оператора iV(+) (p, s) d3p равны числу электронов со
спином s в интервале импульсов d3p. Оператор d+(p,s) уничтожает электроны
с отрицательной энергией; этот процесс в теории дырок рассматривается как
рождение позитрона. Аналогично d(p,s) уничтожает позитрон, и
iV(-) (р, s) = d+ (р, s) d (р, s)
есть оператор числа частиц с положительной энергией. Выражение (13.59)
содержит вклад частиц обоих сортов
^=? \ d3p р'1 tNi+) {р's)+Ni~] {р>s)i (13-60)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed