Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 21

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 138 >> Следующая

Варьируя действие в (13.41) по ф, получим сопряженное урав нение
(/V - т) ф = 0.
(13.40)
0 = ^ d4x 6ф (х) (г'У - т) ф (л:) == б ^ d*x ф (л:) (г'У - т) ф (х).
(13.41)
<i
и
9? (л:) = ф (л:) (г'У - т) ф (х).
(13.42)
ф (- г'У - т) = 0. Канонический метод дает импульс, сопряженный ф:
(13.43)
Поскольку (13.41) не содержит производных ф, импульс, сопряженный ф",
равен нулю, а из уравнения (13.41) следует, что
64
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
г'г|)* есть импульс, сопряженный \|)а. В результате получим га мильтонову
плотность
Ж = mj> - 3? -1}>+ (- ia • V -f- Pm) г|) = г|)+г -Jj- 'Ф, (13.44)
причем последнее выражение в (13.44) следует из уравнения Дирака. Такой
вид - одночастичный гамильтониан, зажатый между двумя спинорами, -
согласуется с результатом в (13.37), полученным из нерелятивистского
рассмотрения.
Из инвариантности S при трансляциях и лоренцевых преобразованиях следует
полный набор законов сохранения энергии, импульса и углового момента. Из
(11.48) и (11.49) находим
откуда, с учетом (11.49), получаем выражения для операторов энергии и
импульса
В частности, для пространственных компонент получаем
/ = (М23, М31, М12) =$^+(rXTV + T°H (13,48)
Это выражение имеет обычный вид суммы орбитального и спинового углового
момента, / = L -f S.
Для свободного уравнения Дирака можно определить еще один закон
сохранения, если вспомнить, что из этого уравнения
(13.45)
Н = ^ jf°° сРх = ^ гр+ (- га • V + Pm) гр сРх, Р = ^ г|)+ (- tV) гр <Рх.
(13.46)
Оператор плотности углового момента 3JT* и сохраняющийся оператор
углового момента М равны
аг* = (xv -щ- - хх-~ + ф, (13.47)
Nf* = J d'x 2K0v\
где 2V* - J/4 [yv> Y*] ~ спинорная матрица лоренцевых вращений, которая
добавляется к спиновому угловому моменту в 3JT*.
(13.49)
ЦАЗЛОЖЕНЙЕ В ЙМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
65
имеет смысл постоянного полного "заряда". Этот заряд аналогичен
сохраняющемуся заряду (12.63) в теории Клейна - Гордона с неэрмитовыми
полями.
Далее, чтобы получить полную квантовую теорию, нам остается только
наложить коммутационные соотношения. Мы уже знаем, однако, что
использование коммутационных соотношений (11.39) приводит к системе
многих частиц, которые подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Поэтому,
чтобы при построении квантовой теории электронов учесть принцип Паули, мы
должны, как в предыдущем разделе, использовать не коммутаторы, а
антикоммутаторы.
§ 79. Разложение в импульсном пространстве
Обратимся теперь к квантованию уравнения Дирака. Вначале перейдем в
импульсное пространство и введем операторы рождения и уничтожения. После
этого мы сможем непосредственно применить метод, обсуждавшийся в начале
главы, причем для квантования нам нужны операторы вида (13.32), которые
рождают частицы с учетом принципа Паули.
Общий вид разложения по плоским волнам для решения свободного уравнения
Дирака (13.40) в соответствии с результатами гл. 3 имеет вид
ф(*" о= Vi1 [ь{р's)u{p> s^e~ipx+
±s ' ' p
+ d+ (p, s) v (p, s) eipx\ ^13 50J Ф+ (*, 0 = ? \ ~^j2 д/~ lb+ (p, s) й
(P, s) y0eipx +
+ d (p, s) v (p, s) yoe~ipx],
где Ep - po - -f Vl P I2 + ot2 • В гл. 3 были выведены следующие полезные
соотношения для спиноров ') и (р, s) и v (р, s):
а) Уравнение Дирака
(р - т) и (р, s) = 0, й (р, s) (р - т) = 0,
(р + т) v (р, s) = 0, v (р, s) (р + т) = 0.
') См., например, (3.16) и (3.30), Напомним, что u(-p,s) означает и (Vp2
+ 'п2, - Р, s), т. е. знак энергии в аргументе спинора всегда выбирается
положительным. Нормировка амплитуд Ь и Ь+ выбрана так, чтобы кванты поля
имели заряд ±1.
66 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА [ГЛ. 13
-б) Ортогональность
й (р, s) и (р, s') = 6SS' = - v(p,s)v (р, s'),
и+(р, s) и (р, s') = 8Ss' - v+ (р, s) v (p, s'), (13.51)
V (p, s) и (p, s') = 0 = v+ (p, s) и (- p, s'). в) Полнота
Z К (p, s) Mg (p, s) - Va (P, s) tig (P, s)] = 6ag,
? Ma (p, s) Mg (P, S) = (-HT^L = (A+ (p))ap>
±s P
- ? (^' s) s) = (ttL s (A-
±s P
При вторичном квантовании дираковского поля коэффициенты разложения
b(p,c), b+(p,s), d(p,s) и d+(p,s) становятся операторами, которые
уничтожают и рождают частицы. Поскольку в нашем случае необходимо учесть
требования принципа Паули, эти операторы следует подчинить антикоммута-
ционным соотношениям вида (13.26). В непрерывных обозначениях (13.50)
имеем
{Ь (р, s), b+ (р', s')} = bss'b3 (Р - р'),
{d (р, s), d+ (р\ s')} = bss'63 (р - р'),
{b (р, s), b (р', s')} = {d (р, s), d {р', s')} = 0,
{b+ (p, s), b+ (p', s')} = {d+ (p, s), d+ {p', s')} = 0,
{b (p, s), d (p', s')} = {b (p, s), d+ (p', s')} = 0,
{d(p, s), b(p', s')} = {d(p, s), b+(p', s')} = 0.
Отсюда легко вывести антикоммутационные соотношения для полей (13.50).
Например, с учетом (13.51) находим
{фа(*, 0. Фв *)}"=
- Е SS^VlRF8a'
±s, ±s' И н
X [ua (р, S) а% ip', s') Y•(¦"-¦"') + va (p, s) (p', s')
= ^ jUp Щ; ^ - [{m - p) y°]ag e~lp <'x~x'1} =
= \ WP ~Щ eip (x~x )2EPbap = 63 (* - *') бар. (13.53)
РАЗЛОЖЕНИЕ В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
67
Аналогичным образом можно получить
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed