Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
±8
Аналогичным образом можно построить оператор заряда. Подставляя (13.50) в
(13.49) и учитывая нормальный порядок операторов, получим прямым
вычислением
Q= ^ d?x: ф+ф: = ^ d3p : b+ (р, s) b (р, s) + d(р, s) d+ (р, s): =
±S
= ?$rf3p[iV(+)(p, s)-N{-)(p, s)]. (13.61)
±S
70
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
Нормальное упорядочивание в (13.61) позволяет избавиться от бесконечной
константы - полного заряда всех электронов с отрицательными энергиями. В
выражениях (13.60) и (13.61) проявляется симметрия квантовой теории поля
Дирака относительно перестановки электронов и позитронов, имеющих
одинаковые массы, но противоположные заряды. В гл. 5 мы уже обсуждали
зарядовую симметрию в применении к теории позитрона. При этом
сохраняющийся ток был связан с электромагнитным
полем и заряд (13.61) рассматривался именно как электрический заряд.
Такое отождествление основывается на классической аналогии, тем не менее
возможна и более общая интерпретация сохраняющегося заряда - мы обсудим
ее в гл. 15.
Рассмотрим теперь оператор углового момента. С учетом нормального порядка
операторных множителей в (13.48), легко показать, что состояние, в
котором позитрон находится в покое и имеет проекцию спина +1 на ось г
'Pi positron 1=3 d (р, s) | 0),
p = (m, 0,0,0), s = (0, 0, 0, +1) (13.62)
есть собственное состояние оператора
/г=$Л:з|>+[(гх4?)г + 1<тг]г1к,
отвечающее собственному значению +1/2, и поэтому действительно описывает
частицу с проекцией спина +1/2. Запишем далее
•++1 positron = [Тгг> d+ (р, s)] I 0),
где использовано соотношение /2| 0) = 0, и вычислим коммутатор:
J 2+1 posi tron ==
" ¦- SЛ1SF Vl7 e~'Vv*ip's) [(' x 7 + + 7 '¦] •
Так как оператор углового момента Lz = -г'(гХ^Ь эрмитов, мы можем
подействовать им налево, при этом для частицы в покое Lz -^ 01).
Поскольку при нашем выборе s в (13.62) спинор v(p,s) равен
ГОт
V (р, S) =
о
о
И J
') Для строгого доказательства возможности проведения интегрирования по
частям лучше использовать вместо плоских волн волновые пакеты.
Релятивистская ковариантность
71
мы получаем
v+(p, s)az= - v+(p, s),
Mfi positron = + j \d3x -1~il2 e-ip* y\J~ v+(p, s) -ф(лг) 10) =
= 7%d+ (p, s) j 0) = 4- V2W, positron-
Таким образом, метод вторичного квантования в сочетании с теорией дырок
приводит к разумному результату: спин позитрона противоположен спину
дополнительного электрона с отрицательной энергией.
§ 80. Релятивистская ковариантность
Квантовая теория поля Дирака инвариантна при трансляциях и
преобразованиях Лоренца. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить
совместность антикоммутационных соотношений (13.53) и (13.54) и
гейзенберговских уравнений (11.70) и (11.73):
г[Р".+М] = ^.
;[лГ,(л-)] -г-х" AM + {[,", уЧ-Н*). (13.63)
Эта проверка с использованием выражений (13.46) и (13.47) для Рв и AfBv
производится непосредственным вычислением, которое мы оставляем читателю
в качестве упражнения.
Поскольку явное решение (13.50) для свободного поля Дирака известно,
можно вычислить антикоммутационные соотношения и для неравных времен,
причем результат может быть записан в ковариантном виде. Рассматривая
(13.53) при неравных временах, получим
{ф"(*, 0, < (*', 0} =
= \ (2~$Р2Ер- № + е-b <*-*'> - [(т - р) у°Ц е" <*-'>} =
= ((/V, + т) у°Ц гД (х - х'),
где А(х- х')-инвариантная сингулярная функция, определенная выражением
(12.37).
Умножив антикоммутатор на у0, приведем его к виду
(Фа М. (*')} = i + т)а8 А(х - х') = - iSa(i (х - х). (13.64)
72 ВТОРИЧНОЕ квантование Поля диракА [ГЛ. 13
Проделав аналогичные вычисления для антикоммутаторов
(13.54), получим
{Фа (*), % (аг')} = {фа (*), Ф3 (*')} = 0. (13.65)
В ковариантности этих выражений можно убедиться, подействовав на поля
лоренцевым преобразованием (11.67)
U (а, Ь) ф (х) U (а, Ь)~1 - S"1 (а) ф (ах + Ъ), причем для спинорного
поля матрица S удовлетворяет условию
S^'y^S = av Yv*
Правая часть в (13.64) есть с-число и не изменяется при преобразовании
U(a,b) ... U~1(a, Ь) с унитарными операторами U. В левой же части
получаем
U (а, Ь) (фа (дг), ф>з (*')} U"1 (а, Ь) =
- 5"г (а) (фх (ах + 6), Фа, (ax' + b)} S4 (а) =
= 5"t (а) (- Vax + im)xk S4 (а) Д (ах - ах') =
- ( Vx -f- itn)aз Д (х х ),
Где учтено, что Д(ж - х') - инвариантная функция и S~1(a) WaxS(a) - Vx.
Тем самым мы видим, что выражение (13.64) ковариантно, поскольку обе
части его преобразуются при лоренцевых преобразованиях одинаковым
образом. Аналогичный результат сразу же получается для антикоммутаторов в
(13.65). В § 72 мы уже показали, что функция Д(ж - у) равна нулю для
пространственно-временных интервалов (х - у)2 < 0; то же самое относится,
следовательно, и к S(x - у). Поэтому, хотя сами по себе поля при (х - у)2
<. 0 и не коммутируют, билинейные формы, локальным образом построенные из
полей, коммутируют, если только координаты разделены пространственно-
подобным интервалом:
[Фа (х) Фз (х), Фя (*') Фх (х')] = фа (X) {фр (х), ф\ (х')} фх (х') -
- (Фа (х), Фх (х')) Фз (х) Фх (х') + фл (х') фа (х) (фр (х), фх (х')} -
