Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вида (13.29) от произведения п полевых амплитуд ф(дполучим с учетом
(13.31)
U (Ф0, Ф (*ь о ... ф (хп, ()Ф) - '?(х1, О, (13.33)
л/п\
где Ч*- антисимметричная волновая функция (13.9) системы п частиц.
С помощью антикоммутационных соотношений для операторов рождения и
уничтожения можно получить антикоммута-
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ФЕРМИОНОВ
61
ционные соотношения для операторов ') <р и ф*:
{ф (*, 0. Ф (*'" 0} = о,
{ф*(дс, 0, Ф* (*', 0} = 0,
N
{ф (*, t), ф* (х', t)} = Yj {Ьа, &<?} "а (*, 0 "а' (*', /) =
а, а'=1 N
= Z "а (*, 0 < (*', 0 = б3 (* - X'). (13.34)
а=1
Используя построенные операторы и векторы состояния, можно теперь сняться
с якоря, оставив язык волновой функции, и перейти к формулировке jV-
частичного уравнения Шредингера (13.1) в теории квантовых полей.
Перепишем уравнение
(13.3) в терминах полевого оператора (13.32)
И (х) Ф (х, = (13.35)
По аналогии с теорией Клейна - Гордона это уравнение можно рассматривать
как уравнение для классического поля ф, полученного из соответствующего
лагранжиана. Наложив коммутационные соотношения (13.34),мы интерпретируем
далее (13.35) как операторное уравнение, причем главное его отличие от
уравнения Клейна - Гордона заключается в использовании антикоммутаторов
вместо коммутаторов. Это отличие приводит к статистике Ферми - Дирака
вместо статистики Бозе - Эйнштейна. Описанная процедура носит название
вторичного квантования. При первом квантовании координаты классической
частицы заменяются на квантовомеханические операторы, действующие в
пространстве волновых функций. После этого одночастичное уравнение
Шредингера само рассматривается как полевое уравнение, причем, налагая
квантовые условия на амплитуды поля, мы получаем операторы,
удовлетворяющие соотношениям (13.14). Выше мы показали, что новый подход
приводит к тем же результатам, что и многочастичное уравнение Шредингера.
Коэффициенты разложения с' (n,,..., nN) как в (13.9), так и в (13.29)
описывают состояние и-частичной системы в том или ином формализме. Полная
энергия, выраженная
') Здесь мы видим преимущество введения операторов 6* вместо а".
Уравнения (13.33) и (13.34) не имеют столь простого вида, если
использовать-в (13.28) операторы а+.
62 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА [ГЛ. 13
через волновые функции, равна, согласно (13.9),
П
^срх, ... d% ix х-: О У] // (х,. Pi) 'F [х *";/) =
N
- Z к(", gr E".?. - <13-36)
ni "N=° 'a=1 '
Это выражение можно рассматривать также как среднее значение оператора
гамильтониана
Н =\d3x ф* (ж, О Я (ж, р) ф (ж, 0 =
N N
=?Мл""н""=ХХг- (13-37)
а-1 а=1
в состоянии (13.29), причем Н, как и следовало ожидать, имеет смысл
гамильтонового оператора поля.
В заключение построим функцию Грина, описывающую распространение частицы
от точки (ж, t) до точки (ж', t') (t' > i) и сравним ответ с результатами
гл. 6. Для этого нам нужна амплитуда вероятности рождения частицы из
вакуума в точке (ж, t) и последующего ее уничтожения при (ж', t').
Волновая функция частицы, локализованной в точке ж, пропорциональна
N
Ф, (ж', 0 = б3 (ж - ж') = Z иа (*'. О U* (ж, t). (13.38)
а=1
Из сравнения (13.38) с (13.9) и (13.29) получаем аналог
(13.38) в методе вторичного квантования
N
Ч'Дж, 0= Е"а(ж, 0 ^Фо = Ф*(ж, ОФ0. (13.39)
а=1
Функция Грина получается, если спроектировать Ч'ДжД) для частицы,
образованной в точке (x,t), на одночастичное состояние 'РДж'Д') в
более поздний момент времени f > t\
G (ж', t'\ ж, f) = i № (ж', f), V, (ж, 0) 9 (t' ~ t) =
== - 10 (t' - t) (0 I ф (ж', О ф* (ж, 0 10). Используя (13.31) и (13.32),
мы приводим это выражение к виду G (ж', t'\ Ж, t) = - г0 (/' - 0 Z "а
(*', О "а (*> 0.
а
который совпадает с результатом (6.28), полученным для запаздывающей
функции Грина в гл. 6.
ТЕОРИЯ ДИРАКА
63
Мы закончим наше сопоставление многочастичной теории и вторично-
квантованного уравнения Шредингера, отметив два преимущества теоретико-
полевого описания. Эти преимущества проявляются при вычислении матричных
элементов, представляющих физический интерес, и привели в последнее время
к широкому использованию методов теории поля в нерелятивистской задаче
многих тел. Во-первых, операторы Ьа и Ьа по своему построению
автоматически обеспечивают антисимметрию волновых функций. Во-вторых, в
терминах этих операторов мы получаем достаточно гибкий и в то же время
простой и естественный язык для описания физических систем с переменным
числом степеней свободы.
§ 78. Теория Дирака
Вернемся теперь к основному содержанию настоящей главы, а именно - к
уравнению Дирака. Чтобы подчеркнуть близкую аналогию с теорией Клейна -
Гордона, перейдем вначале к лагранжиану. Будем рассматривать 4 компоненты
поля фа и 4 компоненты сопряженного поля фа как 8 независимых переменных.
Построим лагранжиан, исходя из свободного уравнения Дирака
Умножив это уравнение слева на 6ф и проинтегрируем по пространственно-
временным координатам от t\ до
Из (13.41) следует выражение для плотности лагранжиана
