Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
сохраняющейся величине.
*
§ 89. Электромагнитное взаимодействие
Ранее в качестве рецепта введения электродинамической связи мы
использовали "минимальную" подстановку
- еАц, (15.1)
которая отвечает классическому взаимодействию точечного заряда. Можно
сохранить эту аналогию и подставить (15.1) в лагранжеву плотность для
полей электрона и фотона; в результате получим
3? (х) = ф (*) (t'V - е0А (х) - гщ) ф (х) - 'Д (х) (х). (15.2)
Плотность лагранжина (15.2) описывает локальное взаимодействие между
электроном и фотоном в одной и той же точке х.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
91
Независимо варьируя (15.2) по полям ф и А, получим систему связанных
уравнений
(IV - то) ф (х) - е0Лф (х), (15.3а)
дГл = е0ф (х) у^ф (х). (15.36)
дх
Первое из этих уравнений имеет ту же форму, что и уравнение одночастичной
теории. Теперь, однако, поле А11(х) не является внешним полем, а включено
в рассматриваемую динамическую систему, поскольку оно связано с
электронным током в (15.36). Этот ток в свою очередь определяется из
решения уравнения (15.3а), которое описывает движение электрона под
действием поля Ап.
Ясно, что при включении связи между полями мы сталкиваемся с очень
сложной нелинейной задачей. Эта задача сложна
уже в классическом случае, как это видно из рассмотрения радиационного
затухания и решений, отвечающих расходящимся электромагнитным волнам в
задаче о движении классических зарядов под действием либо их собственного
поля, либо каких-то других полей (см., например, [30]). Очевидно, что в
квантовом случае задача не становится легче.
Система связанных уравнений (15.3) неявно уже использовалась нами при
вычислении электрон-электронного рассеяния, комптоновского эффекта и
собственной энергии электрона (см. гл. 7, 8). В случае рассеяния
электронов мы вычислили движение каждого из зарядов под действием поля
другого заряда. Для комптоновского рассеяния было вычислено изменение
поля излучения, обусловленное присутствием электрона. Наконец, в задаче о
собственной энергии рассматривалось взаимодействие электрона со своим
собственным полем излучения.
Когда рассматривается движение электрона под действием внешнего
электромагнитного поля, необходимо только добавить в (15.1) в дополнение
к полю излучения потенциал внешнего поля А^(х). Тогда уравнения
приобретают вид
(iV - т0) ф (х) = е0 [Л (х) + Лех' (х)] ф (х),
= е0ф (х) у ф (х).
В формулах (15.4) мы приписали индекс массе т0 и заряду е0, предвосхищая
то обстоятельство, что эти величины не равны физически наблюдаемым
значениям т и е. Мы уже видели в гл. 8, как возникают поправки к то и во
в теории возмущений. При этом обнаружилось, что в низшем порядке по е
поправки
92
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ поля
(ГЛ. 15
к массе и заряду логарифмически расходятся. Мы не будем здесь обсуждать
вопрос о том, останутся ли константы перенор-
Более важно осознавать то, что логическая необходимость перенормировки
сама по себе никак не связана с величиной пере-нормировочных констант.
Тем не менее ввиду трудностей, возникающих в теории возмущений,
необходимо тщательно отделить все бесконечности от конечных наблюдаемых
физических величин. Начиная с 1948 г. в этом направлении был достигнут
большой прогресс и в настоящее время квантовая электродинамика
представляет теорию, в которой имеющиеся бесконечности не препятствуют
вычислению с любой желаемой степенью точности физических амплитуд, причем
точность вычислений на практике ограничивается только объемом работы,
которую при этом необходимо выполнить [31].
Для обобщения классической теории на квантовый случай определим вначале
канонические импульсы и выпишем одновременные коммутационные соотношения.
Член со взаимодействием в (15.2), введенный по классической аналогии,
не содержит производных от полей по времени. Поэтому канонические
импульсы не меняются по сравнению с теорией свободных полей и в
калибровке излучения (кулоновской калибровке) по-прежнему даются
выражениями (13.43) и (14.10)
В указанной калибровке скалярный потенциал уже не равен нулю; из теоремы
Гаусса и (15.6) следует, что
Тем не менее скалярный потенциал все еще не является независимой
динамической переменной, поскольку он определяется мгновенным
распределением заряда р (*,<) = ф+(лс,/)Ф(*1
Так как независимые переменные остаются такими же, как и в теории
свободных полей, мы примем для них перестановоч-
мировки /п0-m и Zi1 бесконечными при точном вычислении.
&ш = - е0ф (х) УцФ {х) А11 (х)
(15.5)
V-Л = 0.
(15.6)
V • Е (х) = - V • А (х) - (*) =
= - У2Ф (х) = е0ф+ (х) ф (л;) ф 0. (15.7)
Ц 89] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 93
ные соотношения вида (13.53), (13.54), (14.13) и (14.17):
{ф"(*> о. <(*'. o}=v>3 (*-*'),
{Фа (X, t), % (х', /)} = {ф+ (X, t), ф+ (X' 0} = 0, ^
[Ai (х, t), А/ (х', 0] = - ibYl (х - х'), i, / = 1, 2, 3,
[Ai {х, t), Aj(x', t)) = [Ai{x, t), Aj(x', /)] = 0-
Чтобы дополнить этот набор, потребуем чтобы одновременные коммутаторы
между полями Дирака и Максвелла также равнялись нулю:
