Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
произведение для взаимодействующих полей может быть определено так же,
как и раньше, например,
: b (р, s) d+ (/>', s') -f b+ (p, s) b (//, s') + d (p, s) a+ (k, A): =
= - d+(p', s') b (p, s) + b+ (p, s)b(p', s') + a+{k, K)d(p, s). Тогда в
(15.26) получаем
'/2 00, УцФ 00] = Ф 00 Yu4 00 - '/2 {ф (x), уД (x)} =
= Д (x) УД 00: + {ф(+) (a), уД(_) 00} - lk {Ф (x), Уц"Ф 00} =
= : ф (x) уД (x): + 263 (0) - 263 (0) (15.27)
При выводе (15.27) мы использовали коммутационные соотношения для
свободных полей, которым удовлетворяют операторы a, b, d и т. д. Таким
образом, сингулярные члены в операторе плотности, который отвечает р = 0
в (15.27) сокращаются. Знаки ( + ) и (-) в (15.27) означают, что
соответствующее выражение сводится к той части оператора в (15.23),
которая содержит либо a, b, d, либо а+, 6+, d+. Последние же, как это
следует из (15.25), совпадают с операторами рождения и уничтожения для
свободных полей.
Хотя мы строго и не показали, что замена (15.26) устраняет фоновый заряд
и нейтрализует вакуум, уместно напомнить, что, как было отмечено при
обсуждении свободного поля Дирака, вакуумное среднее от нормального
произведения всегда равно нулю. В § 99 мы рассмотрим зарядовую
инвариантность в квантовой электродинамике и убедимся в том, что
равенство
<0 |: -ф (х) у Д 00 : | 0) = 0
есть следствие этой симметрии. В настоящий же момент мы примем это
равенство без какого-либо дополнительного обсуждения, тогда
Н= ^ d3x Ш (х) = ^ d3x : ф+ (х) [х • (- iV - е0А (х)) + fim0] ф (л;) +
+ 1[А(х)Ч(^ХЛМ)2]: +
е? Г ?'х d?y
+ 8S JT7^7T(:P(j:- (>Т (15-28)
Далее вычтем из гамильтониана его вакуумное среднее, другими словами,
будем отсчитывать все энергии от энергии вакуума.
100
взаимодействующие поля
[ГЛ. 15
Условие
<0 | # 10) = 0
позволяет избежать рассмотрения некоторых неприятных расходимостей в
выражении (15.28). Первая из них - это нулевая энергия осцилляторов поля,
которая, как и в теории Клейна - Гордона (см. (12.46)), равна
<0|Л2(х) |0> = оо.
Кроме того, имеется еще одна расходимость, обусловленная последним членом
в (15.28). Эта расходимость возникает из-за того, что плотность заряда
:р(х): не коммутирует с гамильтонианом, несмотря на то, что полный заряд
Q= ^ :р (x):d3x коммутирует с Я:
[Q, Щ = о.
В результате в теории возникают флуктуации плотности заряда вакуума,
причем обусловленная этими флуктуациями кулонов-ская энергия равна
бесконечности.
Возникает вопрос об истинной природе указанных вакуумных флуктуаций.
Точные решения системы связанных полевых уравнений не известны и, более
того, до сих пор не удалось показать, исходя из формализма теории, что
вакуум, как наинизшее энергетическое состояние гамильтониана,
действительно существует. Однако если допустить, что спектр гамильтониана
не ограничен снизу, любая попытка построения физически разумной теории
заранее обречена на неудачу. Вопрос о существовании вакуума отнюдь не
является тривиальным, что можно увидеть уже из следующего простого
примера. Рассмотрим теорию, в которой частицы и античастицы отталкиваются
друг от друга. В такой теории энергетически выгодно рождение пар, причем
необходимая для этого энергия возникает за счет изменения потенциальной
энергии, поскольку образующиеся частицы и античастицы разлетаются в
разные стороны [34].
Если ввести нормальное упорядочивание в операторах энергии-импульса и
углового момента, то все полевые уравнения можно записать в нормальной
форме, например вместо (15.3) имеем
(/V - т0) ф (х) = е0: Лф (х):, = е0: ф (х) у^ф {х): (15.29)
В дальнейшем будем подразумевать, что все операторные выражения
автоматически имеют нормальный порядок множителей. Что же касается
вычитания вакуумных средних, то эта процедура не влияет на результаты,
поскольку она сводится к вычитанию из гамильтониана с-числа (возможно
бесконечного).
ДРУГИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
101
§ 93. Другие взаимодействия
Представляется естественным обобщить рассмотренный выше лагранжев
формализм для описания взаимодействия других частиц, например мезонов и
нуклонов. Первое, хотя и не слишком оригинальное, что приходит в голову -
это сопоставить каждой частице свое поле, удовлетворяющее волновому
уравнению, которое описывает спин, массу и заряд частицы. Взаимодействие
между частицами можно строить по образцу известного взаимодействия
дираковских или скалярных частиц с электромагнитным полем. При этом
предполагается, что взаимодействие должно быть локальным и, кроме того,
может быть выведено из некоторой лагранжевой плотности. Мы будем
требовать также инвариатность взаимодействий при пространственно-
временных смещениях и собственных однородных преобразованиях Лоренца,
другими словами, лагранжева плотность должна быть лоренцевым скаляром.
Если взаимодействие оказывается инвариантным относительно несобственных
преобразований симметрии таких, как четность, обращение времени или
зарядовое сопряжение, то на лагранжиан накладываются дополнительные
