Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Понимание того, что сила является 1-формой, рассеивает ореол таинственности вокруг принципа виртуальных перемещений. Виртуальные перемещения оказываются необходимыми только для вычисления компонент 1-формы силы. Теперь мы можем сформулировать принцип виртуальных перемещений следующим образом: «Система находится в состоянии равновесия, если суммарная обобщенная сила, включая силы, реакции связей, равна нулю».
Некоторые силы могут быть получены из потенциалов. Потенциалы Ясно, что такие силы представляют собой градиенты, т.е. 1-формы. Величину работы, совершаемой системой при ее движении по некоторому пути в конфигурационном пространстве, можно найти, подсчитав общее число пересекаемых линий уровня. Отсюда следует, что потенциальное поле не совершает работы при перемещении тела по замкнутому пути. Однако далеко не всякое поле является потенциальным. Примером может служйть силовое поле, изображенное на рис. 18.3. Однако в каждой отдельной точке силу можно представить с помощью некоторой 1-формы.
Как могло получиться, что мы до сих пор считали силу касательным вектором? Сила может быть представлена касательным вектором в том случае, если мы работаем в конфигурационном пространстве с естественной евклидовой геометрией, поскольку евклидовость метрики позволяет любой 1-форме поставить в соответствие касательный вектор. Мы покажем это, когда перейдем к рассмотрению метрических тензоров. Изучение же механики всегда начинают с механики точки, которая движется как раз в евклидовом пространстве.
Наличие наглядного геометрического изображения сил дает нам преимущества, которые проявляются еще раз при рассмотрении систем со связями. Ограничимся случаем идеальных свя- Связи
Евклидово пространство 144
Гл. II. Геометрия
Рис. 18.3
Неконсервативное силовое поле. При обходе по изображенному замкнутому прямоугольному контуру совершается работа, равная примерно 8 единицам.
Множители Лагранжа
Связь
Рис. 18.4
зей, т. е. будем считать, что трение отсутствует. Обычно говорят, что сила реакции ортогональна поверхности связи. Однако если вы действительно поняли идею ковариантности относительно линейных преобразований, то вам должно быть ясно, что это утверждение бессмысленно. Действительно, перпендикулярность остается неопределенным понятием в любом конфигурационном пространстве, если только оно не обладает метрикой. Корректное с точки зрения геометрии представление связи дано на рис. 18.4. Мы видим, что сила, рассматриваемая как 1-форма, параллельна поверхности связи, а параллельность — ковариантное понятие. И в этом случае нековариантное описание возникло из-за неправомерного обобщения механики частицы в евклидовом пространстве.
Для нахождения положения равновесия системы со связями используется метод множителей Лагранжа. Ни в одном стандартном учебнике вы не найдете наглядного геометрического изображения этого метода. Однако такое изображение легко построить, поскольку мы знаем, что сила является 1-формой. По определению сила реакции связи может быть сколь угодно большой. Пусть связь задается условием
Сила реакции, точне P
Ах,в) = о,
(18.1)
тогда параллельная этой поверхности 1-форма, очевидно, совпадает с градиентом df. Само уравнение связи (18.1) определяет линию нулевого уровня функции /. Равновесие требует, чтобы суммарная сила обращалась в нуль. Если Q — сумма всех сил, за исключением силы реакции, и, следовательно, известна, то условие равновесия имеет вид
Q + kdf= О,
(18.2)
где сила реакции связи записана в виде \df. Необходимость введения неопределенного множителя X продиктована тем, что мы знаем только направление действия силы реакции, но не знаем ее величину. Ковекторное уравнение (18.2) должно быть решено относительно п координат положения равновесия и множителя X. Так как в уравнение (18.2) входят ковекторы, оно на самом деле представляет собой п уравнений, по одному для каждой компоненты. Еще одним уравнением служит само уравнение связи (18.1). Таким образом, мы имеем (п + 1) уравнение для (и + 1) неизвестных. 18. Пример: статическое равновесие
145
Пример
Рассмотрим маятник, изображенный на рис. 18.5. На рисунке показаны гравитационная сила и действующая со стороны стержня сила, величина которой не известна.
Если мы задаем состояние системы обобщенной координатой в, то потенциальная энергия маятника в гравитационном поле дается выражением
V = mgl(l — cos в), (18.3)
а соответствующая гравитационной силе 1-форма
Q=-dV OM
имеет вид
Q = —mgl sin в de. (18.5)
Система находится в состоянии равновесия, когда сила Q обращается в нуль. Это имеет место, если
sin в de = 0, (18.6)
т. е. при
0 = 0, тт. (18.7)
В рассматриваемом случае конфигурационное пространство представляет собой окружность, и 1-форму силы легко изобразить. «Линии уровня» в действительности являются точками уровня; на рис. 18.6 мы указали их в виде отметок времени. На рис. 18.6 изображены также само конфигурационное пространство и 1-форма силы.
С другой стороны, мы можем описывать состояние рассматриваемой системы с помощью обобщенных координат (х, у) при условии, что теперь мы будем учитывать возникающую в стержне упругую силу (в 0-пространстве упругую силу можно было не учитывать, так как ее проекция на касательную к окружности равнялась нулю). В этих переменных гравитационная сила у дается выражением
