Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 46

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 139 >> Следующая


а: V* -> IR; ш i-> ы-а.

Таким образом, векторы также дуальны ковекторам. Действительно, любой линейный оператор, отображающий ковекторы в числа, является некоторым вектором., Справедливость этого утверждения не очевидна, однако, его нетрудно доказать. (Приведенное утверждение не справедливо для некоторых бесконечномерных функциональных пространств.)

ЗАДАЧИ

15.1. (18) На рис. 15.8 изображены окружность и три касательных к ней ковектора. Покажите, что

Oi= (cos в)а+ (sin 0)?.

15.2. (13) Графическое правило сложения ковекторов неприменимо, когда ковекторы параллельны. Покажите, что ковектор а можно графически сложить с самим собой, если ввести произвольный ковектор ?, который не параллелен а, и затем выполнить операцию сложения по правилу

а + а = [(а + ?) + а] - ?.

15.3. (16) Пусть V—пространство непрерывных и ограниченных на отрезке 0 < * < 1 функций.

1. Убедитесь, что V— векторное пространство. 15. Векторы и ковекторы

2. Покажите, что оператор

і

Iu: V-* Rif(x)-* jf(x)g(x)dx о

принадлежит V*.

3. Найдите элемент пространства V*, который не может быть представлен в таком виде.

15.4. (22) Пусть для некоторого неизвестного ковектора ш выполняется соотношение

tu -JC = О для всех векторов х, таких, что

IZ JC = O,

где V — некоторый заданный ковектор. Покажите графически, что в этом случае

О) = kv,

где X — произвольный числовой множитель, который называется множителем Лагранжа.

15.5. (21) Решите задачу 15.4 для случая, когда вектор х удовлетворяет сразу нескольким условиям

а - je = 0,

? - X = 0,

и т. д.

15.6. (16) Решите задачи 15.4 и 15.5 для дуального случая, когда неизвестный вектор X удовлетворяет услрвию

W-Jt = O

для всех to, таких, что

ш • а = 0, ш-b = 0

и т. д.

15.7.(26) В пространстве двух измерений ковектор может быть задан двумя числами lam, которые представляют собой длины отрезков, отсекаемых на координатных осях прямоугольной системы координат (рис. 15.9).

а. Что изменится на рисунке, если ковектор умножить на число к?

б. Покажите, что при таком представлении закон сложения ко-

127 128

Гл. II. Геометрия

векторов имеет вид

W3 W1"1" W2'

(Указание: рассмотрите подобные треугольники.) 6. Что будет, если оси координат не ортогональны?

15.8. (24) Снова рассмотрите задачу 1.11. (Обратите внимание что оценка теперь другая!)

16. Касательные векторы и 1-формы

Верх безумия учиться тому, что потом должно быть забыто.

Эразм

В предыдущем разделе мы ввели ковекторы как наиболее простые операторы, заданные на векторном пространстве, и показали, что имеются чисто геометрические основания для введения понятия ковектора. В настоящем разделе рассматривается одна из реализаций этого понятия. Конкретные физические приложения обсуждаются в двух последующих разделах. Следует отметить, что все стандартные курсы математической физики обладают общим недостатком — в них не делается различия между векторами и ковекторами. Трудно привыкнуть различать концепции, которые ранее были введены как одно понятие. Поэтому многие сторонники тензорного анализа не понимают полезности такого различия. Тем не менее физический мир полон ковекторами! Я надеюсь, что рассмотренные ниже примеры покажут, до какой степени понятие ковектора облегчает наше понимание окружающего мира.

Векторное пространство, в котором мы работаем, пред-Касательные векторы ставляет собой пространство касательных векторов к всевозможным параметризованным кривым, проходящим через некоторую фиксированную точку Р. Касательный вектор содержит в себе информацию о локальном поведении гладкой кривой, проходящей через точку Р. Это отличает его от свободного вектора, который характеризует локальное поведение семейства гладких кривых в окрестности выделенной точки. Параметризованные кривые Напомним определение касательного вектора к параметризованной кривой, данное на стр. 102. Это определение было основано на операции предельного перехода, которая включала в себя растяжение окрестности точки P в некоторое число раз с 16. Касательные векторы и 1-формы

129

последующим устремлением степени растяжения к бесконечности. Переход к пределу позволяет получить линейную аппроксимацию параметризованных кривых в окрестности точки Р.

Пример

На плоскости IR2 рассмотрим изображенное на рис. 16.1. семейство параметризованных кривых

уа: IR IR2; a(cos^j, sin^j).

(16.1)

Здесь различные значения параметра а соответствуют разным кривым, а различные значения и относятся к различным точкам на одной и той же кривой. Кривые представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат; при этом смещение точки вдоль окружности, как функция и, уменьшается с увеличением радиуса. Используя описанную выше процедуру предельного перехода, рассмотрим поведение таких семейств кривых в окрестности точки P = (1, 0). Будем увеличивать масштаб наших чертежей, используя для этой цели растянутые координаты

X =

х- 1

(16.2)

E

[Мы вычертили эти кривые на фоне координатной сетки, чтобы подчеркнуть, что наши чертежи верны в количественном отношении. Пожалуйста, обратите внимание на то, что мы могли бы выбрать любую другую линейную координатную сетку. Совсем не обязательно было выбирать прямоугольную систему координат. Это проявление хорошо знакомой нам ковариантности относительно линейных преобразований.]
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed