Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
у = —mg dy, (18.8)
а действующая со стороны стержня сила упругости имеет вид
P = к (cos в dy- sin в dx), (18.9)
где нам известно только направление действия силы р, а величину X необходимо определить. Согласно условию равновесия,
Гравитационная" сила
Рис. 18.5
Рис. 18.6
Одномерное конфигурационное пространство, соответствующее маятнику. Изображена 1-форма гравитационной силы. Равновесие имеет место в точках S = Oh 8 = ж, где сила обращается в нуль.
[См. задачу 15.1.]
10-649 Гл. II. Геометрия
суммарная сила должна обращаться в нуль,
у +р = 0, (18.10) т. е. должно выполняться равенство
(X cos 0 — mg) dy — X sin 0 dx = 0. (18.11)
Это ковекторное уравнение, поэтому каждая компонента должна независимо обращаться в нуль. Последнее требование определяет как положение равновесия
sin0=O, (18.12)
так и величину возникающей в стержне силы упругости
X cos в = mg. (18.13)
В результате получим
0 = 0, X = mg, (18.14)
0 = 7г, к =-mg. (18.15)
Эту задачу можно также рассматривать как задачу со связью и решать с помощью введения множителей Лагранжа. Как показано на рис. 18.7, равновесие имеет место в точках,
Рис. 18.7
Маятник, рассматриваемый как двумерная система со связью. Справа изображена 1-форма гравитационной силы, слева указано направление силы упругости, действующей на чечевицу маятника. Величина силы, действующей со стороны связи, меняется, но если сила трения отсутствует, направление должно быть таким, как изображено. Эти две силы могут взаимно компенсироваться, только если их направления совпадают, что имеет место в верхней и нижней точках. 18. Пример: статическое равновесие
где силы параллельны связям. Детали вычислений мы оставим до задач 18.1 и 18.2.
Ценность любого нового формализма должна быть доказана путем применения его к конкретным случаям. Надеюсь, что рассмотренные в книге примеры и задачи убедят читателя, сколь рационален язык 1-форм в применении к силам и смещениям. Когда мы перейдем к рассмотрению движения частиц, мы увидим, что импульс также является 1-формой. Таким образом, сила и скорость изменения импульса имеют одну и ту же геометрическую природу.
ЗАДАЧИ
18.1. (20) Рассмотрите пример на стр. 145, используя множители Лагранжа (см. задачи 15.4 и 15.5).
18.2. (08) Предположим, что на маятник вместо гравитационной силы действует сила
Q = 2xdx + ydy.
Найдите соответствующий этой силе потенциал.
18.3. (12) Работая непосредственно в 0-пространстве, найдите положения равновесия для системы, рассмотренной в задаче 18.2. Сделайте соответствующее геометрическое построение.
18.4. (15) Для задачи 18.2 найдите положения равновесия, рассматривая ее как задачу со связью. Сделайте соответствующее геометрическое построение и сравните с результатом задачи 18.3.
18.5. (15) В задаче 18.2 найдите силу, действующую на маятник со стороны стержня.
18.6. (20) Предположим, что на стержень действует гравитационная сила плюс сила, явный вид которой приведен в задаче 18.2. Любым способом найдите положения равновесия. Сделайте соответствующее геометрическое построение.
18.7. (20) Пусть на маятник действует сила, потенциал которой имеет вид
V = x* + y\
Найдите положения равновесия. Сначала проведите графическое построение, затем вычислите положения равновесия, используя множители Лагранжа.
10* 148
Гл. II. Геометрия
Рис. 18.8
18.8. (24) Повторите задачу 18.7 для потенциала
V = Xі + у3.
18.9. (20) Повторите задачу 18.7 для потенциала
V = W3+ |у|3.
18.10. (35) Теория катастроф изучает изменения положений равновесия, вызванные изменениями параметров задачи (см., например, Scientific American, April 1976, а также книгу [31]). Типичный пример такой системы изображен на рис. 18.8. Предположим, что потенциальная энергия растяжения пружин имеет вид
к
V = -^L-
Lu)\
[Простым л достаточно .хорошим введением в теорию волн может служить книга [27].]
где L0 — некоторая постоянная, a L — расстояние между концами пружины. Исследуйте зависимость положения равновесия этой системы от положения точки, где закреплена верхняя пружина. Считайте, что / = к = L0 = 1.
19. Пример: диспергирующие волны
В качестве еще одного примера физической задачи, при решении которой мы естественным образом приходим к понятию 1-формы, рассмотрим распространение пакета диспергирующих волн. Такими волнами могут быть волны на воде, упругие волны или волны, которые соответствуют квантовомеханиче-ским частицам. Этот пример заслуживает внимательного рассмотрения не только потому, что он дает возможность проследить взаимосвязь между касательными векторами и 1-формами, но и потому, что в последующих разделах книги движение волновых пакетов будет использоваться в качестве модели движения частиц в общей теории относительности. Мы воспользуемся этой моделью при рассмотрении красного смещения, симметрии, тахионов и черных дыр. Движение волн на воде обладает поразительной симметрией и может рассматриваться как еще одна физическая реализация математической модели, используемой в специальной теории относительности. Поэтому мы посвятим целый раздел изучению этого вопроса. Геометрический подход к описанию движения волновых пакетов может оказаться полезным для физиков, которые занимаются физикой твердого тела и называют такие пакеты квазичастицами. 19. Пример: диспергирующие волны
