Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(20.12)
(20.13)
В случае когда пространства А и В имеют одинаковую размерность, отображение ф можно обратить; тогда векторы и 1-формы могут отображаться в обе стороны. С этой ситуацией мы часто сталкиваемся при переходе от одной системы координат к другой.
21. Тензоры
Напряженней, — сказал Тензор, Напряженней, — сказал Тензор, и напряжения, опасения, разногласия начались.
Альфред Бестер
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы перейти к изучению линейных операторов более общего вида, чем ковекторы. Ковекторами мы назвали отображения вида К — IR, а множество всех заданных на линейном пространстве V ковекторов обозначали символом К*. Что можно сказать об операторах, осуществляющих отображение V* — IR? Ничего нового. Таким оператором может быть любой вектор v из линейного пространства V. Действительно, любой такой вектор определяет отображение
v: ш ь-» (о • V, (21.1)
более того, любой оператор такого вида эквивалентен некоторому вектору.
Теперь рассмотрим несколько более сложные линейные операторы вида К — И*. Такие операторы мы будем называть
[Еще раз обратите внимание на то, насколько естественно обозначение для касательного вектора!]
[Первый раз мы воспользуемся операцией ограничения на подпространство в разд. 29 при рассмотрении движения волновых пакетов. Она будет использована также в разд. 39 для нахождения метрики 3-сферы.]
Тензоры
11-649 162
Гл. II. Геометрия
[Для обозначения тензоров мы по возможности будем использовать рукописный шрифт. Здесь V и W — векторы, а к — действительное число.]
Рис. 21.1
тензорами. Некоторые авторы называют их тензорами второго ранга и применяют термин «тензор» для любого линейного оператора. В таких более общих случаях мы будем говорить, что имеем дело с тензором общего вида. В основе тензорной алгебры лежит понятие линейности. Какие бы операторы ни действовали между пространствами EhF, имеющими структуру линейного вектора пространства, из их множества всегда можно выделить особый класс линейных операторов. Как V, так и К* являются векторными пространствами. Оператор SB, определяемый следующим образом:
ї\ V -» V*,
(21.2)
Линейность
представляет собой линейный оператор, если справедливы равенства
@{kv)=kaa{v), (21.3)
(21.4)
В левой части равенства (21.4) складываются векторы, в правой части — ковекторы.
Пример
Все метрические соотношения в евклидовой геометрии определяются заданием некоторого тензора. В разд. 3 было показано, что при введении канонической системы координат этот тензор задает окружность. Окружность можно рассматривать как оператор (мы обозначим его ?'), который отображает векторы в ковекторы. Способ, позволяющий осуществить такое отображение, показан на рис. 21.1. Возьмем произвольный вектор, конец которого лежит вне единичной окружности. Из конца вектора (который мы обозначим через а) проведем касательные к окружности. Через точки касания проведем прямую линию. Отождествим эту линию с линией уровня вашего ковектора, соответствующей его значению, равному единице.
Является ли этот оператор тензором? Да, если он линеен, а он действительно линеен. Чтобы доказать это, мы должны сначала убедиться, что
«Г( ка) = №{а), (21.5)
а затем показать справедливость соотношения
(21.6)
Первое из указанных равенств следует из рассмотрения подоб- 21. Тензоры
А
В
Рис. 21.2
Треугольники OAC и OBA подобны, следовательно, произведение ОС X OB постоянно.
ных треугольников на рис. 21.2. Используя правило умножения на число, можно определить результат действия оператора ? на векторы, которые лежат внутри окружности: сначала умножим вектор на число так, чтобы его конец оказался вне окружности, найдем ковектор, соответствующий новому вектору, затем полученный ковектор умножим на обратное число.
Условие (21.6) довольно трудно доказать, не выходя за рамки обычной геометрии, однако изложенная в следующем разделе техника расчета позволит нам это сделать. По-видимому, суть этого уравнения понятна и без строгого доказательства, которое не слишком поучительно. На рис. 21.3 мы изобразили операции, которые выполняются в левой части уравнения (21.6), а на рис. 21.4—операции, которые выполняются в правой части. Рисунки показывают, что уравнение (21.6) отнюдь не тривиально.
V—
Sf (•) +
Рис. 21.4
11' 164
Гл. II. Геометрия
Предположим, что нам задан некоторый тензор С ним связан ряд других операторов. С помощью aB мы всегда можем построить оператор, который действует в пространстве пар векторов.
Декартово произведение
[Здесь е — вектор из Е, f — вектор из F, а к — действительное число.]
Декартово произведение: пусть EuF — два векторных пространства; тогда произведением ExF назовем векторное пространство, элементами которого являются пары векторов, один вектор из Е, другой из F. Операции умножения вектора на число и сложения векторов определены соотношениями
k{e,f) = (ke,kf), (21.7)
(«i./i) + (e2,f2) = (е, + +/2). (21.8) Плоскость IR2 является декартовым произведением IR х IR.
