Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 53

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 139 >> Следующая


149

Движение волновых пакетов можно обсуждать, вообще не упоминая о метрической структуре пространства-времени. Наоборот, чуть позже мы покажем, что метрическую структуру можно изучать, исследуя движение волновых пакетов. Такой подход позволяет рассматривать лоренцеву метрику специальной теории относительности как проавление особенно простого закона движения волн.

Структура пространства-времени проявляется в нетривиальных физических закономерностях. Поскольку мы не рассматриваем метрику, нужно рассчитывать на что-то другое. Оказывается, что интересную информацию о структуре пространства-времени дает анализ линейных уравнений в частных производных. Решения этих уравнений представляет собой волны. Прежде всего мы рассмотрим решения, имеющие характер плоских волн. Потом сформируем из плоских воли волновые пакеты. Амплитуда волнового Пакеїа уже не является постоянной величиной. Мы ограничимся рассмотрением случая высокочастотных волн, для которых амплитуда ткета мало меняется на расстояниях порядка нескольких длин волн.

С точки зрения крупномасштабного усреднения волновой пакет выглядел бы просто сгустком энергии, в котором нельзя различить отдельные волны. Именно такую модель частицы мы будем использовать, а движение пакетов рассматривать как модель движения частиц. Мы увидим, что существуют некоторый касательный вектор и некоторая 1-форма, которые естественным образом сопоставляются волновому пакету. Касательный вектор указывает направление движения волнового пакета, 1-форма описывает расположение в пространстве-времени гребней волны, касательный вектор называется групповой скоростью, а 1-форма — фазовой скоростью1*. При традиционном подходе с фазовой скоростью обращаются как с касательным вектором. Однако это возможно только в случае двух измерений. В двумерном пространстве 1-форма описывается набором параллельных линий, и ее ориентацию можно рассматривать как «нечто вроде» вектора. Сложности, вызванные тем, что это только «нечто вроде», исчезают, если понять, что фазовая скорость в действительности представляет собой 1-форму. Наш подход к проблеме, и в особенности разработанный в разд. 27 метод волновых диаграмм, является новым. Изложе-

Bojsi юные пакеты

Уравнения в частных производных

[Для наших целей вполне достаточно иметь общее представление об ураинениях в частных производных.]

Полуклассический подход

[Эта процедура перехода к пределу проиллюстрирована на рис. 19.6 — 19.8.]

Групповая скорость и фазовая

«скорость»

[Чтобы облегчить изучение материала, мы будем возвращаться к рассмотрению отдельных примеров на протяжении всего обсуждения. Соответствующие места в тексте, как обычно, будут выделяться вертикальной линией.]

'' Вводимые автором здесь групповая и фазовая скорости в отличие от общепринятого определения являются геометрическими объектами в пространстве-времени. — Прим. ред. 150

Гл. II. Геометрия

ниє традиционного подхода к вопросу о групповой скорости можно найти во многих книгах; лучше всего, по нашему мнению, он освещен в книге [42].

Начнем с рассмотрения линейного уравнения в частных производных второго порядка.

Пример 1

Квантовомеханическое движение бесспиновых частиц описывается уравнением Клейна—Гордона

JF-Is+* = 0- (191>

[Не обязательно знать, каким образом уравнение получено. Примем его как данное. Уравнение (19.1) описывает также распространение упругих волн по балке.]

Плоские волны

[Множитель 2іг в выражении для фазы будет возникать постоянно. Он связан с соответствующим множителем в формуле для преобразования Фурье, и, так же как и там, его нельзя исключить.]

ПрежДе всего исследуем решения нашего уравнения в частных производных, имеющие вид плоских волн, т. е. решения вида

Mf = A COS в,

(19.2)

где А — амплитуда волны, которую мы пока считаем постоянной, а в — фаза волны. Положение гребней волны дается уравнением

в = 2пп. (19.3)

где п — целое число. Как показано на рис. 19.1, покоящийся наблюдатель видит сечение волны вертикальной мировой линией W. Скорость, с которой гребии волны проходят мимо наблюдателя, называется частотой. Мы будем пользоваться угловой частотой, которая определяется соотношением

дв

dt'

(19.4)

[В случае трех пространственных измерений у к, конечно, было бы три компоненты.]

[Продолжение примера 1.]

В любой фиксированный момент времени пространственное расположение гребней волн дается горизонтальным сечением соответствующей волне пространственно-временной диаграммы (рис. 19.2). Скорость появления гребней волн при изменении пространственной координаты пропорциональна волновому числу, которое определяется следующим образом:

. дв к = —. дх

(19.5)

Функция

?=/lcos(\/2f-Jt) (19.6)

является частным решением уравнения (19.1), имеющим вид 19. Пример: диспергирующие волны

151

Гребни волны

Рис. 19.1

плоской волны. Соответствующая этому решению фаза в имеет вид

в = V2t - JC. (19.7)

Конфигурация гребней волн изображена на рис. 19.3. Частота ш и волновое число к равны соответственно
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed