Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с отображения ф между двумя векторными пространствами А и В. При этом не обязательно, чтобы пространства имели одинаковую размерность. Если А = IR, то при отображении мы получаем параметризованную кривую; если В = IR, то имеем дело с обычной функцией. В основном нас будет интересовать случай, когда размерность В больше размерности А, поэтому все наши рисунки будут относиться к такому случаю. Однако полуденные результаты остаются в силе и при снятии указанного ограничения. Если размерности А меньше размерности В, то можно сказать, что отображение задает в В параметризованное подмножество; это понятие яв-
Отображение, выделяющее подпространство в пространстве большего числа измерений.
Отображение 158
Гл. II. Геометрия
Функция
Ограничение на подпространство
[Мы используем общепринятое обозначение с помощью звездочки. Оно не имеет отношения к операции комплексного сопряжения.]
ляется обобщением введенного ранее понятия параметризованной кривой (рис. 20.1).
Предположим далее, что на множестве В задана некоторая функция, т. е. отображение
f: В H-XR (20.1)
(рис. 20.2). Тогда отображение ф естественным образом определяет функцию /* на множестве А:
(20.2)
Это также изображено на рис. 20.2. Чтобы вычислить значение/* в точке а, принадлежащей множеству А, нужно сначала с помощью ф отобразить а в множество В, а затем взять значение функции/ в точке ф(а). Функцию/* будем называть ограничением (pullback) функции / на подпространство, задаваемое отображением ф.
к R
/ /
В
/ *{а)=Ь /
ЦЬ)
Рис. 20.2
Параметризованная кривая в двумерном пространстве А, отображение из А в трехмерное пространство В и функция на В.
Параметризованная кривая Существует также дуальная операция, ассоциируемая с па-
раметризованной кривой в А:
у: IR-* A-, (20.3)
она схематически изображена на рис. 20.2. Теперь она осуществляется с помощью отображения ф в том же направлении. Результатом является кривая у
Продолжение из подпространства "У*: IR ^ В; S * (.?)], (20.4)
которую будем называть продолжением (push-forward) у с помощью отображения ф. 20. Отображения
159
Касательные векторы и 1-формы являются локальными линейными аппроксимациями кривых и функций. Очевидно, что несущественно, когда проводится аппроксимация — до или после отображения ф. Это требование определяет гладкое отображение. Всюду ниже мы будем предполагать, что рассматриваются гладкие отображения.
Гладкие отображения позволяют определить продолжение касательных векторов пространства А в пространство В и ограничения на 1-формы. При этом мы будем использовать введенное выше обозначение с помощью звездочки. Заметим, что касательный вектор, определенный в В, не может быть ограничен на подпространство А. Действительно, представим себе А как подпространство пространства В. Как показано на рис. 20.3, не существует однозначного способа спроецировать вектор на подпространство. Аналогичным образом, хотя 1-форма, определенная на В, естественным образом определяет 1-форму на подпространстве (рис. 20.4), обратное не верно.
Ограничение формы на подпространство осуществляется с помощью цепного правила. Пусть (ti, v, . . .) — координаты в А, а (дг, у, . . .) — координаты в Bi Координаты не обязательно должны быть линейными. Отображение ф задается набо-
[Для наших целей вполне достаточно общего представления о том, что такое гладкость. Различия между С, С°° и С" не имеют глубокого физического содержания.]
Касательные векторы и 1-формы
Вычисление ограничения на подпространство
Рис. 20.3
1-форма в двумерном пространстве
1-срорма в трехмерном пространстве
Рис. 20.4 160
Гл. II. Геометрия
ром функций
X = X (и, v, . . .),
y=Y(u,v,...), (20.5)
и т. д.
Простейшая функция, определенная на В, имеет вид / = х. Ее градиент dx представляет собой базисную 1-форму. Ограничением функции X на А является функция
х* = X(u,v, . . .), (20.6)
градиент которой имеет вид
dx* =^du+^dv +--------(20.7)
au dv
Поскольку любая базисная 1-форма может быть ограничена на А, а оператор градиента d линеен и коммутирует с отображением ф, любую 1-форму можно представить в виде линейной комбинации базисных 1-форм и, следовательно, ограничить на А.
Пример
Пусть А = IR2, В = IR3, и пусть отображение ф имеет вид (рис. 20.5)
ф: (и, и) ь* (х, у, z) = (и, V, и2 + V2). (20.8)
Тогда имеем
JC* = и,
следовательно,
у* = v, (20.9)
dx* = du,
dy* = dv, (20.10)
dz* = 2м du + 2v dv.
Как мы видим, dz* = 0в точке (0,0), что вполне естественно, поскольку в этой точке параболоид параллелен 1-форме dz. 21. Тензоры
161
Продолжение касательных векторов осуществляется анало- Вычисление продолжения из подпространства
гично предыдущему. Кривая в А
у: S (s,0, . . .)
(20.11)
имеет касательный вектор, который мы обозначаем д/ди. Касательный вектор (д/дй), к кривой 7.
-у*: IR В\ S [А-^,0, . . .), У(*,0, ...),.. .].
можно найти при помощи цепного правила
{du}* ди дх ди ду
