Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
137
вать гораздо более общему случаю многообразия. Характерная особенность многообразий состоит в том, что для них в отличие от линейных векторных пространств необходимо использовать криволинейные системы координат.
В разд. 16 мы определили градиент функции как ее локальную линейную аппроксимацию. Поскольку сумма двух линейных функций представляет собой линейную функцию и поскольку в результате умножения линейной функции на константу мы снова получаем линейную функцию, множество линейных функций образует векторное пространство. Эффективный способ задания векторного пространства состоит в выборе базиса, т. е. некоторого стандартного набора векторов, и записи всех векторов линейного пространства в виде линейной комбинации базисных векторов. Теперь координаты сами становятся функциями, определенными на пространстве-времени, и мы можем вычислить их градиенты. Мы используем эти градиенты как базис в пространстве 1-форм.
Вернемся теперь к рассмотрению градиентов и для произвольной функции /(*, у) повторим вычисления, проведенные в примере на стр. 129. Мы можем разложить функцию Дх, у) в окрестности точки (лг0, у0) в ряд Тейлора
fix,у) ~f{Xo,y«)+!?(*¦
¦Уо) + • •
Базисные 1-формы
[Сначала мы рассматриваем пространство ковекторов, поскольку этот случай проще.]
Градиент
(17.1)
Линейные члены в этом выражении мы называем градиентом функции /. Следуя общепринятой традиции, обозначим ковектор градиента функции / символом df. Теперь это не бесконечно малая величина, а определенная выше 1-форма.
Что можно сказать о самой координате х! Она тоже представляет собой функцию, и ее можно записать в виде
X = X0 + (х - X0).
(17.2)
df
[Повсюду в этой книге символ d мы будем понимать именно в указанном смысле. Используемые физиками бесконечно малые приращения dx будут обозначаться символом Дл\]
В круглых скобках стоит градиент следуя нашему соглашению, обозначим его dx. Линейные функции dx, dy и т. д. обра- dx зуют базис в пространстве градиентов. Действительно, из приведенного выше разложения функции / в ряд Тейлора следует, что
Txdx+ ?yd>- (17-3)
Отсюда видно, в частности, почему мы обозначили 1-форму градиента символом df. 138 Гл. II. Геометрия
Выбор системы координат эквивалентен заданию некоторо-Базисные касательные векторы rQ набора функций( ИЛИі что то же самое> некоторого множества кривых. Это линии, на которых все координаты, кроме одной, фиксированы. Прямая, локально аппроксимирующая заданную кривую линию, называется касательной. Касательные к координатным линиям будем обозначать символами д/дх, д/ду и т.д.1* Мы скоро увидим, что такие своеобразные обо-Э/Эх значения действительно имеют смысл. В точке (х0, у0) символ д/дх соответствует прямой
и^(х0 + и,у о), (17.4)
а д/ду изображается прямой
и ^ (х0,у0 + и). (17.5)
Кривая общего вида 7,
у: и^ [*(«), У(и)], (17.6)
может быть локально аппроксимирована прямой линией, явный вид которой мы получим, если воспользуемся разложением в ряд Тейлора
^t ^dX , dY ч
и {Хо+л;и'Уо+ши) <17-7)
[не нарушая общности, мы приняли, что Of- (х0, >>0)]. На множестве таких прямых мы снова можем легко определить операции сложения и умножения на число. Тогда касательный вектор (прямую) к произвольной кривой 7, который мы будем обозначать 7, можно записать в виде
dXB_ + dYd_ ' du дх du ду
Мы будем использовать векторы д/дх, д/ду и т. д. в качестве базиса в пространстве касательных векторов. Все сказанное выше нетрудно распространить на случай четырех и большего числа измерений.
Дуальность Базисные векторы д/дх и д/ду и базисные ковекторы
dx и dy дуальны друг другу. Это значит, что имеют место
Допуская некоторую вольность, автор не делает различия между векторами (операторами дифференцирования) и прямыми линиями в направлениях, задаваемых векторами. — Прим. ред. 17. Векторы координатного базиса
139
соотношения
dx— = 1,
дХ
dx-Z- = O1
ду
dyf = 0,
дХ
(17.9)
[Напоминаем, что точкой мы обозначаем операцию свертывания ковектора с вектором. Не следует путать эту операцию со скалярным произведением евклидовой геометрии или геометрии пространства Минковского.]
Проверим первое их этих равенств. Мы определили dx как градиент функции X, а д/дх — как прямую линию
и н* (х0 + и, у0). (17.10)
Значением соответствующей сложной функции является X-координата точки, принадлежащей линии (17.10), при заданном значении параметра и. Это значение (*0 + и). Скорость изменения функции при изменении и, очевидно, равна единице. Аналогичным образом проверяются остальные равенства. На рис. 17.1, где изображен полученный результат, показаны базисные векторы и ковекторы в косоугольной системе координат. Результаты, очевидно, инвариантны относительно произвольных линейных преобразований.
Обозначение д/дх для вектора координатного базиса подчеркивает его тесную связь с понятием производной по направлению.
Рис. 17.1
Пример 1
В разд. 16 мы говорили, что для любой функции / величина df ¦ д/дх представляет собой производную функцию / по направлению оси X. Действительно, полученные выше результаты позволяют написать
