Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Эти параллельные и расположенные на равных расстояниях прямые линии показаны на рис. 16.8. Соответствующее поле свободных ковекторов изображено на рис. 16.9.
Теперь мы можем обратить процедуру предельного перехода. Возвращаясь к исходным координатам, получаем, что прямые
/ ~ 2у — 2 (16.13)
являются линейными функциями, аппроксимирующими функцию
f=x2 + y2_l (16Л4)
в окрестности точки (0, 1).
Рис. 16.9
Соответствующее рис. 16.8 поле свободных ковекторов.
Множество заданных в некоторой точке 1-форм представляет собой множество линейных функций, локально аппроксимирующих всевозможные функции более общего вида. Две такие линейные функции можно сложить, и любую линейную функцию можно умножить на число. Указанные операции превращают множество 1-форм в линейное векторное пространство. ¦Аналогично касательные векторы в некоторой точке дают линейную аппроксимацию проходящих через эту точку параметризованных кривых. Касательные векторы можно умножать на число и складывать; они также образуют линейное векторное пространство.
Линейная структура пространства 1-форм
Линейная структура пространства касательных векторов 134
Гл. II. Геометрия
Пример
Линейной аппроксимацией кривой
« h^ (х,у) = (и, sin и) (16.15) в точке (0, 0) является прямая линия
и і-» (х,у) = (и,и). (16.16)
Отображение
и (2м,-и) (16.17)
определяет другую прямую. Сумма этих двух прямых также йредставляет собой прямую линию
и >->• (3и,0). (16.18)
Более того, умножение второй прямой на число к
и к* (2ки-ки), (16.19)
дает другую прямую линию.
Линейные операторы
[Ни одно из этих понятий не потребует пересмотра, когда мы перейдем к обсуждению многообразий, поэтому уже сейчас вы можете под M понимать многообразие.]
Множество всех касательных векторов в некоторой точке называется касательным векторным пространством в этой точке. Множество всех заданных в точке 1-форм называется пространством, дуальным касательному пространству.
Ковекторы и 1-формы представляют собой линейные операторы, в результате действия которых на векторы получаются действительные числа. Какова геометрическая интерпретация этой операции? Предположим, что нам задана кривая 7:
у: IR М\ и i-> у(и),
(16.20)
где мы по-прежнему под пространством-временем M понимаем пространство Минковского.
Предположим далее, что мы имеем функцию /:
/: M-»IR;p ^f(p). (16.21)
Если мы вычисляем значение функции / в точках, принадлежащих кривой 7, то мы получаем отображение, которое обозначается/07 и называется «композицией/и 7». Это отображение имеет вид
(/° у): IR ^ IR; и ¦-*/[?(«)]
(16.22)
(рис. 16.10). Отображение/о 7 представляет собой функцию в обычном смысле слова. В разд. 17 мы увидим, что вычисление результата действия ковектора градиента функции / на каса- 16. Касательные векторы и 1-формы
135
м
к
и
'Ir(U)I
Рис. 16.10
тельный вектор к кривой 7 сводится к вычислению произвол- Производная по направлению НОЙ функции /-7, т.е. скорости изменения функции / вдоль кривой 7 при изменении параметра и. Таким образом, понятие касательного вектора объединяет в себе две различные идеи. С одной стороны, это локальная линейная аппроксимация кривой или семейства кривых. С другой стороны — это оператор производной функции по направлению. В пространствах конечного числа измерений оба понятия представляются одним и тем же математическим объектом. То же самое справедливо и для большинства бесконечномерных пространств. Вектор v, понимаемый как производная по направлению, в обычных трехмерных обозначениях записывается в виде V ¦ V. Дальнейшее обсуждение оператора производной по направлению отложим до разд. 17.
В книгах по тензорному анализу касательные векторы и 1-формы называются соответственно контравариантными и ко-вариантными векторами. Однако мы надеемся, что рассмотрение обобщенной силы (1-форма) в разд. 18, а также групповой скорости (касательный вектор) и фазовой скорости (1-форма) в разд. 19 убедит читателя в том, что геометрическая картина, в которой проводится различие между векторами и 1-формами, вполне естественна, проста и интуитивно понятна.
ЗАДАЧИ
16.1. (11) Покажите, что 1-форма градиента функции f(x,y)=x2 + y2
,2 Гл. И. Геометрия
обращается в нуль в начале координат. Сделайте это графически и аналитически.
16.2. (10) На рис. 16.11 изображен участок топографической карты. Для нескольких произвольно выбранных точек изобразите 1-форму градиента.
16.3. (10) Пусть кривая у представляет собой винтовую линию:
у: S i-* (cos5, sins, s),
а функция / имеет вид
f(x,y,z) =X2+ у2+ Z2.
Найдите функцию
(/° у): IR^IR. 17. Векторы координатного базиса
Хотя исключение координат из наших определений представляет собой простой и элегантный прием и хотя графические построения наглядны и интуитивно понятны, для эффективного использования тензоров в действительности необходимо производить аналитические вычисления. Чтобы перейти к числовому представлению, воспользуемся нашей системой координат и зададим специальный набор базисных векторов. Мы уже поступали так выше при рассмотрении канонических систем отсчета. Подчеркнем, что, хотя мы по-прежнему считаем пространство-время линейным векторным пространством, введенные здесь определения после небольших изменений будут соответство- 17. Векторы координатного базиса
