Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
df=fdx+fdy+. . .; (17.11)
J дх ду
следовательно,
д df
df- — = —- (17.12) Производная по направлению
дх дх
Пример 2
Пусть функция / удовлетворяет дифференциальному уравнению 140
Гл. II. Геометрия
[Мы продолжим рассмотрение этого примера в разд. 25.]
в частных производных
|f+2|f-О дХ ду
с граничным условием
fix, 0) =
(17.13)
(17.14)
Эти требования определяют функцию / на всей плоскости.
Уравнение в частных производных (17.13) эквивалентно уравнению
+ = <17-15>
которое означает, что функция / постоянна вдоль направления
(17.16)
— + 2—
Это позволяет найти функцию / с помощью простого геометрического построения, показанного на рис. 17.2. Получаем
Дх, у) = е-(2*-"П4.
(17.17)
("о. к.)
ЗАДАЧИ
17.1. (08) Сложите графически
dx + 3dy.
17.2. (12) Нарисуйте векторы
* дх dt' V дх dt'
Изобразите 1-формы, образующие дуальный им базис. Запишите их через dx и dt.
17.3. (13) Найдите касательный вектор к конической винтовой линии:
S I-* is COS S, J sin 5, j) .
17.4. (13) Найдите градиент функции
fix,у) = sin ix + у). Изобразите его на рисунке. 18. Пример: статическое равновесие
141
17.5. (16) Нарисуйте координатный базис, соответствующий полярной системе координат, и дуальный ему базис 1-форм.
17.6. (22) Выразите базисные ковекторы сферической системы координат через dx, dy и dz-
18. Пример: статическое равновесие
Мы могли бы продолжить изложение материала и перейти к рассмотрению тензоров, однако прежде следует до конца разобраться в том, что такое 1-формы и как они связаны с касательными векторами. Поэтому сделаем отступление и рассмотрим конкретный пример. Простым примером 1-формы в физике может служить обобщенная сила. Правда, это понятие не имеет прямого приложения в космологии,, но оно хорошо известно всем, хотя не все знают, что обобщенная сила представляет собой 1-форму. Авторы стандартных учебников не рассматривают обобщенную силу с такой точки зрения, поэтому они вынуждены использовать абстрактные и трудные для понимания правила. Формулировки принципа виртуальных перемещений в той форме, как они приведены в большей части книг, выглядят достаточно запутанными. Как часто бывает, абстрактный язык и непонятные выражения указывают на отсутствие полной ясности.
В качестве примера рассмотрим состояние статического Статика равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы. Полученные результаты нетрудно распространить на случай систем, в которых действуют также электрические силы. Состояние рассматриваемой системы можно задать, указав конечное число параметров, которые называются обобщенными координатами. Определение состояния системы путем задания пространственного положения всех ее частей оказывается значительно менее эффективным. Пример возможной системы рассматриваемого типа изображен на рис. 18.1. Если мы пренебрегаем упругими волнами в пружинах, нитях, стержнях и массах, то состояние рассматриваемой системы определяется только двумя параметрами, х и в. Его можно изобразить точкой на плоскости IR2. Часть IR2, состоящую из точек, соответствующих всем возможным состояниям системы, мы
будем называть конфигурационным пространством. В конфи- Конфигурационное пространство гурационном пространстве понятие расстояния лишено естественного смысла. Иными словами, расстояние между точками конфигурационного пространства, изображающими два последовательных положения системы, не соответствует какому-то 142 Гл. II. Геометрия
реальному ее перемещению. Здесь евклидовость метрики IR2 несущественна с точки зрения физики. В указанном смысле конфигурационное пространство может служить важным примером пространства без метрики.
Будучи предоставлена самой себе, механическая система в Положение равновесия конце концов перейдет в положение равновесия. Эффективный метод отыскания таких положений дает принцип виртуальных Принцип виртуальных перемеще- перемеіцений (ПВП). Обычная формулировка принципа такова:
«Данная механическая система будет находиться в состоянии равновесия тогда и только тогда, когда суммарная виртуальная работа всех приложенных сил равна нулю... Виртуальная работа сил реакции равна нулю для любого виртуального перемещения, совместимого с заданными кинематическими связями» [17]. Определяемую ПВП схему вычислений нетрудно реализовать. Не хватает только наглядной геометрической картины. Однако такую картину легко представить. ПВП требует
Касательный вектор смещения
1-срорма силы
Рис. 18.2
1-форма обобщенной силы. На рисунке изображена ситуация, когда виртуальная работа равна двум единицам. 18. Пример: статическое равновесие
143
вычисления работы, которая совершается при «виртуальном перемещении» системы. Обобщенная сила связывает такое перемещение с «виртуальной работой». Следовательно, в геометрическом смысле обобщенная сила является оператором, преобразующим перемещение (касательный вектор) в работу (число). Поскольку перемещение должно быть бесконечно малым, вычисление виртуальной работы аналогично процедуре предельного перехода, которую мы ввели в предыдущем разделе. Такой предельный переход линеаризует оператор. Таким образом, обобщенная сила представляет собой линейный опера- Обобщенная сила тор, отображающий касательные векторы в числа, и, следовательно, является 1-формой (рис. 18.2).
