Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
/ / / // / /
2тг
* ""і
Рис. 19.2
w = V2, к = ~ 1.
(19.8)
(19.9)
Частота и волновое число, очевидно, являются компонентами 1-форма градиента фазы 1-формы градиента фазы. Действительно,
и, следовательно,
—ff*+?*
de = к dx + w dt.
(19.10)
(19.11)
Градиент фазы описывает кинематику гребней волн, их локально е расположение в пространстве-времени. Строго говоря, конфигурация гребней волн несет в себе меньше информации, чем 1-форма градиента фазы. Действительно, одно и то же расположение гребней волн соответствует как самой 1-форме, так и 1-форме, умноженной на минус единицу. С другой стороны, 152
Гл. II. Геометрия
конфигурация гребней дает более подробное описание волны, так как градиент определяет фазу только с точностью до постоянного фазового сдвига. Выбор того или другого описания определяется характером рассматриваемой задачи.
[Продолжение примера 1.]
Дисперсионное уравнение
Для рассматриваемой в примере плоской волны градиент фазы имеет вид
de = Vldt - dx. (19.12)
Как видно из рис. 19.3, гребни волн перемещаются вправо со скоростью
f = V2. (19.13)
При каких условиях плоская волна, имеющая вид (19.2), будет решением рассматриваемого уравнения в частных производных? Чтобы ответить на этот вопрос, сведем уравнение в частных производных к некоторому алгебраическому соотношению, связывающему компоненты градиента фазы.
[Продолжение примера 1.]
Гребет волны Рис. 19.3
[Если вы изучали квантовую механику, то эти правила должны быть вам знакомы.]
Для волны
^=A cos в,
(19.14)
если к и ш постоянны, как это имеет место в плоской волне, получаем
д2Ч*
-^T = -Aw2 cos 6>, (19.15)
д2У дх2
-Ak2cos в.
Таким образом, должно выполняться соотношение
-ш2 + к2+\= 0.
(19.16)
(19.17)
Это соотношение называется дисперсионным уравнением. Оно полностью эквивалентно исходному уравнению в частных производных. Нетрудно понять, каким образом можно восстановить дифференциальное уравнение по дисперсионному уравнению. Просто нужно каждой степени со поставить в соответствие производную по времени, а каждой степени к — производную по координате. Действительно, распространение волн часто описывают, задавая именно дисперсионное уравнение, а не соответствующее уравнение в частных производных. При экспериментальном исследовании волновых систем дисперсионное уравнение часто получается непосредственно в результате измерений. 19. Пример: диспергирующие волны
153
Несколько распространенных обычное волновое уравнение
дисперсионных уравнений:
W2 = A:2;
уравнение Клейна—Гордона
W2 = Jt2+!;
упругие волны в напряженном жестком стержне
волны на глубокой воде
= *2-*4;
W4 = к2.
Распространенные дисперсионные уравнения
[Чтобы упростить соответствующие выражения, мы исключили из них все физические константы. Это эквивалентно выбору канонической системы координат для каждой задачи.]
Когда существенно то обстоятельство, что градиент фазы представляет собой 1-форму, а не касательный вектор? Рассмотрим градиент фазы в случае трех измерений (рис. 19.4). Для изображенной на рисунке ситуации мы не можем указать направление распространения гребней волн в пространстве. Однако мы можем определить скорость изменения фазы волны с точки зрения любого заданного наблюдателя. Если X — касательный вектор к мировой линии наблюдателя, то скорость изменения фазы дается выражением (10 ¦ X, но это не что иное, как результат действия 1-формы на касательный вектор.
Теперь рассмотрим решения, для которых к и ш не строго постоянны. Такие волны уже не являются плоскими. Однако если к а ш мало меняются на расстояниях порядка длины волны и за время, равное периоду волны, то такие решения мало отличаются от плоских волн и для их описания можно приближенно использовать плосковолновой формализм. Пример почти плоской волны приведен на рис. 19.5. При рассмотрении почти плоских волн считают, что величины каш зависят не от X и t, а от медленно меняющихся переменных EX а Et, где ? — 0. В этом пределе частота и волновое число меняются медленно по сравнению с самой фазой. Тогда для решения вида
= A cos в (19.22)
получаем
-jf = -A(o sine, (19.23)
Рис. 19.4
Гребни в случае двух пространственных и одного временного измерений. Изображены два гребня, один из которых проходит через начало координат.
Почти плоские волны
Рис. 19.5 154
Гл. II. Геометрия
ЭЙ)
---Y = -Aai2 COS 0 — Є/4 ^77 sin в. (19.24)
at at
Мы видим, что наибольшую величину при є — 0 имеют члены, которые входят в дисперсионное уравнение для плоских волн. Таким образом, частота и волновое число изменяются по величине, но в любой точке должны по-прежнему удовлетворять дисперсионному уравнению.
[Продолжнение примера 1.]
[Совсем не очевидно, каким образом можно находить решения такого типа. Соответствующие методы можно найти в превосходной книге [42].]
В рассматриваемом случае в качестве решения, мало отличающегося от плоской волны, можно было бы взять решение вида
