Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
По аналогии с понятием свободного вектора можно ввести понятие свободного ковектора. Закрепленный вектор полностью задается одной точкой; в этом случае множество «о>» состоит из таких точек. Чтобы задать свободный вектор, необходимы две точки и способ различить начало и конец; обычно для этих целей используется стрелка. Поэтому для свободного ковектора мы должны нарисовать две линии уровня и указать положительное направление. Принятый нами способ обозначения показан на рис. 15.2 и 15.3 для векторов и ковекторов соответственно в пространстве двух и трех измерений.
Полученное представление позволяет легко вычислять результат действия ковектора на вектор. Нужно только подсчитать число (учитывая нецелую часть) линий уровня семейства «а»>, которые пересекаются вектором. При этом знак зависит от взаимной ориентации вектора и ковектора. Иногда такую операцию называют «свертыванием».
Рис. 15.3
Нулевой оператор
[Поскольку мы рассматриваем случай двух измерений, я употребляю слово "линии", в то время как следовало бы говорить "(л — 1)-мерные линейные подпространства".]
Линии'уровня
[О свободных векторах см. разд. 1; см. также рис. 16.5.]
Свободные ковекторы
//
Рис. 15.2 124
Гл. II. Геометрия
Следуя обычному соглашению, мы будем использовать первые буквы латинского алфавита для обозначения векторов, а последние буквы греческого алфавита — для обозначения ковекто-ров; единственное исключение — использование буквы v для обозначения вектора.]
Линейность пространства ковек-торов
-
-W- -Ч 4
-t
S
-V V
— --S 1V
Л \ - с -
1S S
-V M
Рис. 15.4
Пример
На рис. 15.4, мы изобразили два свободных ковектора и три свободных вектора. Нетрудно видеть, что результаты действия ковекторов на векторы таковы:
и ¦ а = +1, а) • с = —2,
v а = —1, vb=-l,
VC = +1.
Множество ковекторов само является линейным пространством. Назовем ковектором кш оператор, действие которого определено соотношением
(кш) • V = к(ш ¦ v).
(15.11)
Аналогично сумма двух ковекторов ш и v представляет собой такой ковектор (to + v), что
(со + и) • V = (X) • V + V ¦ V.
(15.12)
Умножение на число
Принятые определения делают ненужным употребление скобок в выражениях типа (15.11) или (15.12). Возникает вопрос: что представляет собой множество «кш»1 Предположим, что вектор а принадлежит «о>», т. е.
ш-а = 1. (15.13)
Тогда, используя свойство линейности (15.2), получаем
(15.14)
Таким образом, линии уровня «кш» параллельны линиям «о»>, но расположены в к раз ближе друг к другу. Для случая к = 2 это изображено на рис. 15.5. Обратите внимание на то, что поведение векторов и ковекторов взаимно дополняет друг друга. Это необходимо, поскольку представление векторного пространства не единственно. Как и в случае инерциальных систем отсчета, мы можем осуществить произвольное линейное преобразование. В частности, наше представление должно быть ковариантным относительно растяжений, и, как мы видим, такая ковариантность действительно имеет место. Такие преобразования соответствуют растяжению вектора, но пропорциональному сжатию ковектора; при этом величина и • v остается неизменной (рис. 15.6). 15. Векторы и ковекторы
125
Рис.
Рис. 15.5
Рис. 15.5 после выполнения операции растяжения.
Что можно сказать относительно операции сложения двух ковекторов? Как построить сумму «и + и», если заданы два произвольных ковектора «ы» и «i>»? Снова воспользуемся свойством линейности. Выберем два вектора а ab, такие, что
ш ¦ а = 1, va = О, и) - Ь = О,
vb= 1. (15.15)
Обобщение предлагаемой процедуры на случай большего числа измерений достаточно очевидно, но его гораздо труднее изобразить на рисунке. В рассматриваемом случае двух измерений имеем
(ш + и)-а=1, (1516>
((x) + v)-b= 1. (15.17)
Таким образом, оба вектора а и b должны лежать на линии «w + V». Как показано на рис. 15.7, указанное требование полностью определяет «ш + V».
Наше определение операции сложения ковекторов опиралось исключительно на понятия параллельности и пересечения прямых. Поэтому оно, очевидно, ковариантно относительно
Сложение
Рис. 15.7
Сложение ковекторов ш и V, в результате которого получается новый ковектор (ш + i>); при выполнении операции сложения вводятся два вспомогательных вектора а и Ь.
Ковариантность относительно линейных преобразований 126 Гл. II. Геометрия
Рис. 15.8
Дуальность
произвольных линейных преобразований. Эта ковариантность будет играть чрезвычайно важную роль, когда мы перейдем к рассмотрению векторных и тензорных полей на многообразиях.
В пространстве двух измерений ковектор может быть представлен точкой на единичном контуре, которая ближе всего расположена к началу координат. Однако такое представление не ковариантно относительно линейных преобразований. Оно было использовано в разд. 1 при получении необычного правила сложения векторов в IR2.
Мы видим, что векторы и ковекторы очень похожи. Соотношение между ними называется дуальностью. Мы говорим, что ковекторы дуальны векторам. Ковекторы являются линейными операторами в пространстве векторов; подобно этому векторы, очевидно, могут рассматриваться как линейные операторы в пространстве ковекторов. Соответствующее отображение осуществляется согласно правилу
