Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Ф =A cos
-[1 + iVlet-leX- (Et)2
(ex)
T'2}-
(19.25)
Это решение пригодно вплоть до X порядка 1/е, поэтому члены єх и ehe2 в (19.25), вообще говоря, могут не быть малыми и ими нельзя пренебречь. Вблизи начала системы отсчета получаем
Ч* ~ A cos (Vi t-X + const). (19.26)
Соответственно градиент фазы имеет вид
de = Vldt - dx.
(19.27)
При работе с волновыми пакетами абсолютное значение фазы обычно не представляет интереса, поэтому постоянной в выражении (19.26) можно пренебречь.
При больших ж и (или) t членами типа єх пренебречь нельзя. В этом случае частота дается выражением
Vl •
_ _(?0__
[1 +iVlet-lEX+ (et)2 - и*)2]1
(19.28)
Из (19.28) видно, что в окрестности любой точки частота действительно меняется медленно по сравнению с самой фазой. То же справедливо и для волнового числа.
Групповая скорость Раз мы перешли от плоской волны к волне, частота и волновое число которой могут изменяться, появляется возможность каким-то способом пометить волновой фронт и следить за его перемещением в пространстве-времени. В качестве метки может служить, например, максимум частотного распределе- 19. Пример: диспергирующие волны
155
ния. Вектор, указывающий направление перемещения волнового пакета в пространстве-времени, называется вектором групповой скорости. Позже мы увидим, что энергия волны и максимумы амплитуды, равно как и информация о частоте, перемещаются в том же самом пространственно-временном направлении.
Уравнение переноса для частоты можно получить из дисперсионного уравнения следующим образом. Мы знаем, что Частота
дсо д2в д2в дк
дх дх dt dtdx dt'
(19.29)
Если мы решим дисперсионное уравнение относительно волнового числа
к = К{ш) (19.30)
и затем используем равенство (19.29), то получим уравнение, описывающее перенос информации о частоте.
Пример 2
Выше мы приводили дисперсионное уравнение для волн на глубокой воде
Co4 = A:2. (19.31)
Одно из решений этого уравнения имеет вид
k = -ш2. (19.32)
Используя уравнение (19.29), получаем уравнение
^+ !; (ы2)=0 (19.33)
о X dl
или, иначе
S+ 2.?- 0.
Из последнего уравнения следует, что частота не меняется при перемещении в пространственно-временном направлении, кото-
[Обратите внимание, насколько рое задается вектором естественно наше обозначение
для касательного вектора. Еще v = jL+ 2(0 — , (19.35) Pa3 просмотрите обсуждение
дх dt ' операции взятия производной по
направлению в разд. 17.]
Этот вектор совпадает по направлению с вектором групповой скорости для волн на глубокой воде. 156
Гл. II. Геометрия
. Групповая скорость
Градиент фазы
Рис. 19.6
Пространственно-временная диаграмма для волнового пакета. Конечную протяженность пакета мы учли, изобразив гребни волн короткими линиями. Для наглядности представлен случай относительно большой длины волны. Рис. 19.7 в большей степени соответствует высокочастотному волновому пакету.
Рис. 19.7
Волновой пакет,частота которого в пять раз больше частоты пакета, изображенного на рис. 19.6.
Рис. 19.8 Предел.
Ниже мы увидим, что движение максимума волнового паке-Амплитуда та происходит в том же направлении. Мы представляем себе волновой пакет в виде решетки, изображенной на рис. 19.6. На рис. 19.7 и 19.8 изображены волновые пакеты, частота которых больше. Заметим, что фактическая протяженность волнового пакета для электрона порядка 8 • IO-21 с. Мы рассматриваем волны, амплитуды которых имеют максимум в некоторой точке пространства и плавно спадают по сторонам от волнового пакета. Положение гребней волн определяется градиентом фазы, компоненты которого удовлетворяют дисперсионному уравнению. Волновой пакет перемещается в пространстве-времени в направлении вектора групповой скорости, который находится дифференцированием дисперсионного уравнения. В последующих разделах мы распространим полученные результаты на случай уравнений в частных производных с медленно меняющимися коэффициентами. Такие уравнения будут использоваться при обсуждении движения волновых пакетов во внешних полях. 20. Отображения
157
ЗАДАЧИ
19.1. (10) Вычислите к для плоской волны, рассмотренной в примере на стр. 154.
19.2. (12) Нарисуйте на пространственно-временной диаграмме волновой пакет для волн, распространяющихся на воде. Укажите на диаграмме к, ш и компоненты групповой скорости. Выполните рисунок корректно в количественном отношении.
19.3. (21) Найдите значение групповой скорости для упругих волн с дисперсионным уравнением (19.20).
19.4. (20) Покажите, что для волн на глубокой воде скорость переноса энергии в два раза меньше скорости гребней волны. Используя пространственно-временную диаграмму, объясните, каким образом это можно было бы наблюдать.
19.5. (28) Покажите, что в примере на стр. 154 все векторы групповых скоростей выходят из одной и той же точки в прошлом.
20. Отображения
Отображение множеств — фундаментальное математическое понятие. В тех случаях, когда множества обладают структурой, естественно поставить вопрос, в какой степени эта структура переносится при прямом и обратном отображении. В этом разделе мы будем рассматривать только множества, которые являются линейными векторными пространствами. Однако полученные результаты справедливы и в более общем случае многообразий, обсуждаемом в разд. 26. Мы увидим, что существует тонкое свойство дуальности в соотношениях между векторами и ковекторами, которое теряется при традиционном координатном подходе.
