Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Глобальная структура в данном случае очевидна. Имеется
Топология шов, на котором точки сф = 0иф = 2т должны быть соеди-
нены. Быстрота X может принимать любые положительные значения. Когда х = 0, мы имеем единственную точку, являющуюся аналогом Северного полюса на сфере. Глобальная структура здесь та же самая, что и для полярных координат. На рис. 44.1 изображено (х, </>)-представление.' Оно также может быть склеено таким образом, что получится аналог представления типа двумерного диска.
Поскольку эта псевдосфера является подпространством
Метрика большего многообразия, она наследует от него метрику
W = Ch X, х = sh X cos ф, у = sh X sin ф.
(44.6)
9 = dx2 + sh2 X d<j>2.
(44.7)
Отождествить
X
° / Одна точна
/
.ф.
Рис. 44.1 2-псевдосфера. 44. Псевдосфера
351
Доказательство
Выписанная здесь метрика получена из параметрических соотношений (44.6). Ограничение на 2-пространство базисных 1-форм, заданных на 3-пространстве, записывается следующим образом:
dw* = sh X dx,
dx* =i ch X ch ф dx — sh х sin ф dф, (44.8)
dy* =ch X sin ф dx + sh х cos ф dф.
Метрика (44.7) получается после подстановки соотношений (44.8) в выражение (44.1).
Такая метрика является положительно определенной. Не существует векторов, имеющих нулевую или отрицательную длину.
Пример
Рассмотрим метрику в точке (х, Ф) = (а, 0), где
sh а = 1, а = 0,89 Метрика в этой точке имеет вид
dX2 + dф2,
а метрическая фигура представляет собой окружность. Очевидно, зта метрика евклидова, а не лоренцева. Поскольку пространство однородно, сказанное справедливо в каждой точке.
Для псевдосфер, как и для сфер, существуют стереографические представления. Одна из таких проекций, задающая карту для 2-псевдосферы в (х, >»)-плоскости, схематически изображена на рис. 44.2. Одна такая диаграмма покрывает псевдосферу целиком, и ее достаточно для того, чтобы показать, что псевдосфера представляет собой многообразие. Такие стереографические представления' могут иметь кое-какие интересные свойства. Точки, разнесенные бесконечно далеко на псевдосфере, могут оказаться на конечном расстоянии в проекции. Отображения могут быть конформными, т.е. сохраняющими углы. Кроме того, некоторые из них могут переводить конечные окружности в конечные же окружности.
(44.9) (44.10)
Рис. 44.2
Отображение псевдосферы на плоскость (х,у).
Стереографические представления [См. задачу 33.3.] 352
Гл. IV. Космология
[Операция ограничения иа подпространство рассмотрена в разд. 20.]
Пример
Проецирование на плоскость w = 0 из точки (w, х, >0 = ( — 1, О, 0) обладает всеми перечисленными выше свойствами. Именно такое отображение представлено на рис. 44.2. Если во избежание путаницы координаты в (х, >0-плоскости назвать (и, v), то получим
И = vvTT' (44Л1)
u = йГ+Т' (44Л2)
W2 = X+х2+ у2. (44.13)
Эти уравнения задают координаты (w, х, у) как функции от и и v. Решая их, получаем
Х = %, (44.14)
Iv
(44.15)
' Д '
1 + и2 + V
w^—д—
где
(44.16)
Д = 1 — и2 — V2. (44-17)
С помощью выписанных соотношений мы можем выяснить, каким образом ограничиваются 1-формы dw, dx и dy. Например, имеем
dx* =JtW+и2-V2) du+ Iuvdv]. (44.18)
В силу осевой симметрии достаточно вычислить dx*, dy* и dw* вдоль линии v=0. Для этой линии мы получаем
^,2(1 + updut (44Л9)
dy* = (44.20)
(44.21) 44. Псевдосфера
353
Метрику теперь можно записать в следующем виде: -d** + ck* + df = 4idu2 + dv2).
(44.22)
В этом виде метрика заведомо симметрична; таким образом, мы получили правильное выражение для метрики, справедливое всюду.
Полная псевдосфера отображается на внутренность единичной окружности на (и, у)-плоскости. Такое отображение отличается от модели двумерного диска для S2 тем, что оно не включает обод. В самом деле, расстояние от любой точки на псевдосфере до обода было бы бесконечным. Как и в случае сфер, плоскости, проходящие через начало координат в (w, х, ^-пространстве, пересекают псевдосферу по геодезическим. Осознав этот факт, мы можем без труда получить, что в описанном выше (и, !^-представлении геодезические являются дугами, пересекающими единичную окружность под прямыми углами. В рассматриваемом представлении легко обнаруживается неевклидов характер геометрии псевдосферы. На рис. 44.3 изображены две различные линии А и В, ни одна из которых не пересекает третью линию L. В евклидовой геометрии существует лишь одна линия, проходящая через данную точку и не пересекающая другую заданную линию. На рис. 44.4 изображен треугольник ABC ненулевой площади, все углы при вершинах которого равны нулю. Обсуждаемое представление позволяет оперировать с псевдосферой, пользуясь методами евклидовой
[Если вам ие нравится такой кратчайший путь рассуждений, то проделайте соответствующие длинные выкладки.]
[Другим представлением 2-псевдосферы является полуплоскость Пуанкаре, рассмотренная в задачах 34.4 и 34.5. Дополнительно об этих представлениях можно прочитать в книге [34, с. 184] и [5] (приложение 20).]
