Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
в) для радиационной модели, Q = 1.
45.4. (28) Во Вселенной существуют масштабы длины, отвечающие галактикам (2 - IO12 с), расстояниям между галактиками (3 ¦ IO14 с) и скоплениям галактик (1015 с). Преобразуйте эти расстояния в дуговые расстояния для упомянутых выше трех моделей.
45.5. (17) Чему равны наблюдаемые угловые размеры, соответствующие приведенным выше масштабам длины, при Z = 0,1; 1 и 10 в пылевой Вселенной с Q = 21
45.6. (28) Предположим, что Вселенная содержит некоторые постоянно существующие объекты типа галактик. Плотность числа таких объектов ц как функция красного смещения представляет собой число объектов An, обнаруженных на всем небе в интервале красных смещений от z до z + Az, т.е.
(і Дг = Дп.
Чему равна плотность числа рассматриваемых объектов в пылевых и радиационных моделях?
45.7. (33) Пространство-время
& = -dt2 + t2(dx2 + Sh2Y du2)
получено из пространства-времени открытой пылевой Вселенной в результате предельного перехода
а—* 0, Г) -*<х>.
Покажите, как совершить такой предельный переход, и докажите, что рассматриваемое пространство-время описывает пустую Вселенную. Для пустой Вселенной пространство-время должно быть пространством-временем Минковского. Найдите преобразование к обычным координатам.
45.8. (30) Сделайте то же, что и в задаче 45.7, для радиационной Вселенной.
45.9. (26) Галактика, лежащая на луче зрения к более удаленному квазару, создает в спектре квазара узкие линии поглощения. Предполагая, что красное смещение z галактики мало, рассчитайте скорость изменения z с течением нашего собственного времени и выразите ее через H0 и q0. 364
Гл. IV. Космология
45.10. (35) Используя дисперсионное уравнение для нерелятист-ских частиц, а также то обстоятельство, что длина волнового пакета должна увеличиваться по мере расширения Вселенной, покажите, что свободная частица, движущаяся относительно Вселенной, замедляется по следующему закону:
1
VXR-
45.11. (20) Хаотические движения галактик, наблюдаемые в настоящее время, характеризуются скоростями порядка Ю-3 от скорости света. Когда эти скорости были сравнимы со скоростью света? Дайте объяснение.
45.12. (35) Решите задачу 45.10, не ограничиваясь рассмотрением одних лишь нерелятивистских частиц. Проверьте, что случай излучения надлежащим образом входит в Ваши рассуждения.
45.13. (30) Какой бы вывод Вы сделали, если бы некоторое достоверное наблюдение привело бы к заключению, что величина q0 лежит в пределах 1,001 ± 0,002?
46. Диаграмма Хаббла
Расширяющееся искривленное пространство-время изменяет не только частоту света, но и его интенсивность. С первых дней существования общей теории относительности астрономы надеются использовать этот эффект, чтобы выяснить, в каком типе Вселенной и на какой стадии ее эволюции мы живем. Другими словами, они хотят измерить q0. На практике можно наблюдать лишь кажущуюся яркость далеких объектов и их красные смещения. Соотношение между этими величинами называется диаграммой Хаббла. Каждая космологическая модель предсказывает тот или иной специфический вид диаграммы Хаббла, который мы сейчас рассчитаем.
Наблюдения В нашем распоряжении имеются данные о красном смещении г и спектральном распределении энергии света, принятого от целого ряда объектов с разными красными смещениями. Спектральное распределение энергии Fvfj представляет собой плотность потока энергии, зарегистрированную приемником и характеризующуюся обычной единицей измерения ватт/(метр2 • герц). Полный поток энергии вычисляется как интеграл от плотности потока по частотам. В этом случае 46. Диаграмма Хаббла
365
мощность определялась бы последующим интегралом от этого потока по заданной совокупной площади. Наконец, энергия была бы интегралом от мощности по времени.
Сам источник характеризуется светимостью Lv, которая Свойства источника описывает спектральное распределение энергии испущенного света. Узким местом в использовании соотношения светимость — красное смещение для изучения Вселенной является необходимость делать те или иные предположения о собственной светимости Lv. Это требует глубокого знания рассматриваемых объектов и наличия моделей, описывающих их эволюцию. К примеру, чтобы использовать данные о светимости всей галактики, надо уметь рассчитывать Lv, исходя из ее кажущейся оптической яркости, возраста и спектра. При этом нам не нужны абсолютные значения, если мы можем выделить группу объектов, характеризующихся одним и тем же значением L11. Вычисление собственной светимости L11 требует использования сложных и еще не вполне устоявшихся астрофизических представлений. В дальнейшем мы не будем их обсуждать, а продолжим рассмотрение геометрических аспектов сформулированной проблемы так, будто мы располагаем данными о совокупности объектов с фиксированным значением Lv и различными красными смещениями.
Основной теоретический результат, необходимый для рассмотрения этой проблемы, состоит в том, что в процессе распространения света по расширяющейся Вселенной число фотонов остается постоянным. Этот результат можно получить, обобщая уравнения Максвелла на случай искривленного пространства-времени и анализируя их на основе высокочастотного приближения, использованного в разд. 27.
