Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Другая величина, которую, вероятно, можно наблюдать, — это современная плотность материи во Вселенной. Вопрос о том, можем ли мы видеть всю материю, остается открытым, но мы заведомо можем установить нижние пределы плотности массы. Выразим плотность р через параметры нашей модели, начав с определения
(43.10)
SpirR3
Используя выражение (42.12) для R(t), получим
3
"Po =
7Г(1 -COSTJ0)3'
(43.11)
Красное смещение
Плотность материи
Напомним, что р имеет размерность (секунда) , так что величина а2р безразмерна. Для перехода от одних единиц к другим удобно использовать плотность воды, равную 6,67 • 10"
-8C"2 344
Гл. IV. Космология
По-^nf?- («.ІЗ
Часто для плотности материи употребляют безразмерный параметр плотности Q0, вводимый с помощью постоянной Параметр плотности Хаббла:
_ 87гр0
ънг
Этот параметр связан с нашим современным дуговым временем соотношением
По = T^-. (43.13)
1 + COS TJ0
Будучи безразмерным, параметр Q0 может зависеть только от т/0, но не от а. Для рассматриваемых замкнутых пылевых Вселенных значения параметра Q0 лежат в области
Sl0 > 1. (43.14)
Имеется еще одна наблюдаемая величина, плодотворность использования которой выявится при изучении других моделей, — это параметр замедления q0, определяемый соотношением
* <43Л5) K0K0
Напомним, что
R' - ^ (43.16)
Поскольку параметр q0 безразмерен, он должен быть связан с Q0 и у0. Для пылевых Вселенных такая связь имеет следующий вид:
По = 2д0. (43.17)
Мы имеем полное право пользоваться указанными формулами. Приведем несколько примеров постепенно увеличивающейся сложности.
Пример 1
Предположим, что свет от объекта с красным смещением г принимается в момент дугового времени Tj0. Как далеко от нас в пересчете на дуговое расстояние находится этот объект?
Пусть Tj — момент дугового времени, когда рассматриваемый объект испустил свет, как показано на рис. 43.1. Запишем 43. Наблюдения в замкнутой пылевой Вселенной соотношение
(1 + 7) = I-COSTJo
U+ZJ R(Ti) I-COS 7,' (43Л8)
откуда определяем у. Искомое дуговое расстояние Дх вычисляется теперь по формуле
Ax = i?o- V, (43.19)
поскольку в координатах (ij, х) скорость света равна единице.
Пример 2
Мы наблюдаем удаленный квазар с красным смешением z = 2. Допустим, что используется модель Вселенной с ?0 = 1,9. Чему был равен возраст Вселенной (в предположении, что она описывается замкнутой пылевой моделью) в момент испускания принятого нами света?
Зиая q0, можно найти современное дуговое время, используя соотношение
Яо =Т~Г^-• (43-20*
40 1 + COS TJ0
Таким образом, получаем
i}q — 2,06 рад (118°). (43.21)
Световой сигнал, который распространяется в такой Вселенной с момента ее образования, мог бы пройти около трети всего пути вокруг нее. Зная щ, мы можем из соотношения (43.9) найти следующую комбинацию:
(аН0) = 0,81. (43.22)
Однако, не располагая какой-либо размерной величиной, мы не можем вычислить время, поэтому оставим в нашем ответе зависимость от неизвестной постоянной Хаббла.
Итак, квазар испускает свет в момент дугового времени, задаваемый соотношением
=jFt^ ' (43.23)
1 — cos Tj
откуда имеем
v = 1,03 рад (59°). (43.24)
Собственный возраст Вселенной в момент испускания света 346
Гл. IV. Космология
квазаром определяется из формулы
TH0 = ^Y*1 (Ч-Sin4),
откуда получаем
(43.25)
HnT = 0,0714, (43.26) или в общепринятых единицах
(TH0) ='(1.3 млрд.лет) • [50км/(с • Mnc)]. (43.27)
Современный возраст Вселенной в рассматриваемой модели
равен
TnHn = (16 млрд.лет) ¦ [50 км/(с ¦ Mnc)]. (43.28)
Если бы мы взяли для постоянной Хаббла значение порядка 100 км/(с • Мпс), то современный возраст Вселенной получился бы равным лишь 8 млрд.лет. Это слишком короткий промежуток времени, поскольку, как мы полагаем, мы видим звезды, возраст которых достигает 15 млрд.лет.
[Мие не хотелось бы создавать впечатление, что у меня существует предвзятое мнение о квазарах и о том, что все их красное смещение имеет космологическое происхождение. Когда я говорю здесь о квазаре, то имею в виду лишь очень удаленный видимый объект с измеримым космологическим красным смещением.]
Пример 3
Рассмотрим теперь геометрически более сложную ситуацию. Допустим, что наблюдаются два квазара, видимое угловое расстояние между которыми мало, е< 1. Предположим далее, что эти квазары удалены от нас в точности на одно и то же расстояние, соответствующее красному смещению г. Как далеко друг от друга находились они в момент испускания принятого нами света?
, Наблюдатель
J
Oda световых сигнала
Мировые линии Otoux квазаров
X
Рис. 43.2
Плоскость (ч, х) не выявляет пространственную геометрию. 43. Наблюдения в замкнутой пылевой Вселенной
347
Здесь применимы те же самые рассуждения, с помощью которых в предыдущем разделе была получена разумная картина кругосветного распространения светового сигнала. Предположим, что мы находимся на Северном полюсе, х = 0. Поскольку все точки эквивалентны, это допустимо. В координатах (ij, х) на рис. 43.2 мировые линии обоих квазаров, а также испущенных ими световых сигналов попарно совпадают. На рис. 43.3 мы опускаем координату т\ и изображаем события в представлении S3 типа трехмерного шара. Наблюдатель на этом рисунке находится в центре шара. Оба квазара расположены на радиусе X — Vo ~ где т; — дуговое время, отвечающее моменту испускания ими света. Мы выбрали координаты таким образом, что оба квазара лежат на большой сфере ф = 0. Эта большая сфера на рис. 43.3 кажется плоскостью, проходящей через центр шара; она изображена отдельно на рис. 43.4. Угол е между лучами света хорошо виден как на рис. 43.3, так и на рис. 43.4. Таким образом, два рассматриваемых квазара имеют следующие координаты:
