Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(X, в, ф) = (ть-т,, 0,0), (43.29)
(Х, в, ф) = (I)0 -1), е, 0). (43.30)
Их координаты различаются как раз на величину
Д0 = е. (43.31)
Используя метрику
[Менее искусственная родственная задача заключалась бы в рассмотрении вопроса о том, насколько близко свет от одного квазара пройдет мимо расположенного перед ним другого квазара, если расстояние между ними велико.]
[Последовательность рисунков
43.2 — 43.4 соответствует последовательности рисунков
42.3 - 42.5.]
Квазары
Сечение
ф = о
У = R4-n)[-d-n2 + dx2 + sin2 X (de2 + sin2 Є dф2)],
(43.32)
можно преобразовать упомянутую разность координат в собственное расстояние
5 = R(v) (sin х)е. (43.33)
Последнюю формулу можно записать в следующем виде: phc^ 43.3
Пространственная геометрия про-
_ . (Н0а)
Наблюдатель
(НйЪ)
i0u, , ч • / является в представлении типа
— (I - COST)) Sin (7?-T)). (43.34) Тр«мерногошара.
Для Вселенной с q0 = 1,9 и разности между координатами порядка 2" формула (43.34) дает следующее значение длины:
(N0S) = (1,05 • 1012с) • [50 км/(с • Mnc)]
(43.35)
или
[Угловая секунда соответствует самым мелким разрешимым оптическим деталям, видимым через атмосферу Земли, и потому является удобной единицей. Перевод ее в радианы: 1" = 4,85 • 10~6 рад.] 348
Гл. IV. Космология
[Килопарсек, равный IOn световых секунд, представляет собой удобную единицу длины, по-
(Я05) = (10,5 кпс) • [50 км/(с • Mnc)].
(43.36)
скольку он соответствует размеру типичных особенностей в галактике. Радиус нашей Галактики составляет примерно 10 кпс.]
Рис. 43.4
Пространственная геометрия на большой сфере.
ЗАДАЧИ
43.1. (16) На каком расстоянии друг от друга расположены галактики в замкнутой пылевой Вселенной с H0 = = 50 км/(с • Мпс) и Q = 2?
43.2. (26) В замкнутой пылевой Вселенной плотность галактик задается величиной ц (галактик/с3). Выразите полное число галактик в такой Вселенной через H0 и і;0.
43.3. (22) Какова интерпретация величины (R0H0)I
43.4. (12) Чему равна современная плотность в с-2 и г/см3 для замкнутой пылевой Вселенной с q0 = 1,9 и постоянной Хаббла порядка 50 км/(с • Мпс)?
43.5. (27) Предположим, что наблюдается некоторое скопление объектов, расположенных на одном и том же расстоянии, например совокупность галактик в одном скоплении. Для каждого объекта получено красное смещение Zr Значения Zi различны, поскольку объекты в скоплении движутся относительно друг друга. Как оценить дисперсию скоростей таких объектов по наблюдаемой дисперсии их красных смещений? Предположите, что малой величиной является разность Zi — (Zi), но не сами Zj. (Угловые скобки обозначают среднюю величину.) 44. Псевдосфера
349
44. Псевдосфера
Подозреваю, что если бы вы шли до края света, то вы нашли бы там кого-нибудь, кто идет дальше.
Г. Д. Topo
Сделаем теперь перерыв и займемся изучением псевдосферы. Это симметричное пространство послужит основой для построения другой совокупности космологических моделей. Рассмотрение здесь будет идти параллельно рассмотрению 3-сферы в разд. 38 и 39. Глобальная структура псевдосферы проще, чем 3-сферы. Ее метрическая структура также не сложнее, хотя и более необычна.
Псевдосфера любого числа измерений может быть получена как подпространство с лоренцевой (а не евклидовой) метрикой, т.е. такое пространство, в котором одна из координат имеет времениподоб'ный характер. Для 2-псевдосферы берем 3-про-странство (w, X, у) с метрикой
' = -dw2 + dx2 + dy2
(44.1)
и рассматриваем подмножество точек, расположенных на единичном времениподобном интервале от начала координат,
W2 — X2 — у2 = 1
(44.2)
Погружение
[Будьте внимательны! Рассматриваемая лоренцева метрика является фиктивной, так же как и евклидова метрика в разд. 38. Она ие имеет ничего общего с пространством-временем.]
[Мы употребляем здесь и» вместо /, чтобы избежать какой бы то ни было случайной связи с пространством-временем.]
в положительном направлении оси w. Мы полагаем, что такое подмножество должно быть однородным и изотропным, поскольку оно инвариантно относительно трех изометрий пространства (w, X1 у), а именно поворота
Симметрии
X---
ду
(44.3)
и двух преобразований Лоренца
д , д
х^:—I- W —, dw дх
[Было бы последовательно называть эти преобразования псевдо-(44.4) поворотами, но они уже названы преобразованиями Лореица.]
д , д dw ду
(44.5)
Каждая точка на этой 2-поверхности соответствует единичному вектору скорости, аналогичному нашим векторам 4-ско-рости в пространстве-времени. Можно предположить, что
Пространство скоростей 350
Гл. IV. Космология
естественная мера скоростей — быстрота — будет в данном случае полезной координатой, и так оно и есть на самом деле. Естественная параметризация для этой поверхности задается в координатах (х, </>) следующим образом:
Здесь X представляет собой быстроту прямой мировой линии, выходящей из начала координат в точку, задаваемую приведенными выше соотношениями.
