Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
этих двух видов материи иногда рассматриваются и другие уравнения состояния. Ученые, занимающиеся физикой элементарных частиц, предположили, что при огромных плотностях ядерная материя может подчиняться уравнению состояния
Такая материя, называемая предельно жесткой, оказывает большее сопротивление сжатию, чем даже фотонный газ. Будь она еще жестче, скорость звука в ней превысила бы скорость света. Возможен и другой фантастический вид материи. Требование лорёнц-инвариантности уравнения состояния приводит к следующему уравнению:
Материя, описываемая этим уравнением, имела бы всюду одно и то же постоянное отрицательное давление. Такому виду материи соответствует в уравнениях Эйнштейна так называемый космологический член, а Л называется космологической постоянной. Эйнштейн сам выдумал этот вид материи именно для того, чтобы удержать от расширения свои модели Вселенной. Он разрабатывал такие модели еще до наблюдений Хаббла, установивших фактическое расширение Вселенной. Тем не менее с обоими этими видами материи интересно поупражняться.
Экзотическая материя
Помимо уравнений для пыли, излучения и любой смеси
P = р.
(41.8)
(41.9) 42. Замкнутая пылевая Вселенная
335
42. Замкнутая пылевая Вселенная
Природа — это бесконечная сфера, центр которой повсюду, а периферия — нигде.
Паскаль
[В той или иной форме эта цитата приписывалась великому множеству авторов. Кое-что об этом рассказано в очерке «Огромная сфера Паскаля», содержащемся в «Лабиринтах» Джорджа Луиса Боргеса.]
Сначала рассмотрим следующую космологическую модель. Пусть ее пространственные сечения представляют собой 3-сферы, а в качестве материи она содержит пыль. Это самый простой и в то же время наиболее известный случай. Вы уже приобрели небольшой опыт в сферической тригонометрии, но пока еще совсем не имели дела с псевдосферической тригонометрией.
Для рассматриваемой пылевой Вселенной мы должны определить только две функции, Лир. Уравнения Фридмана имеют вид
Естественно предложить следующий способ исследования этой системы: сначала решить первое уравнение относительно R(t), а затем вычислить р из второго. Однако эти уравнения открывают больше возможностей, чем может показаться с первого взгляда.
Для пыли плотность энергии р равна просто локальной Материя плотности массы. Для жидкости, состоящей из частиц, плотность массы равна массе частиц, умноженной на локальную плотность числа частиц. Эти частицы (для нас — галактики) будут сохраняться, так что их полное число должно быть постоянным. Сказанное может быть справедливо только в том случае, если в процессе расширения Вселенной плотность числа частиц убывает как I//?3. Что отсюда следует? Совместимо ли упомянутое условие с уравнениями Фридмана? Вычислим величину (A3p)' и посмотрим, равна ли она нулю. Запишем уравнение (42.2) в виде
(42.1) Уравнения Фридмана
(42.2)
R(R'V + R = ^f1
(42.3) Сохранение массы 336
Гл. IV. Космология
Дуговое время
и продифференцируем обе части:
8тг?Л^ = (Л.)а + J RRR'+ R1.
(42.4)
Выражение в правой части (42.4) можно получить, умножив (42.1) на R2R'; поэтому мы заключаем, что
dt
(,pR3) = 0.
(42.5)
Итак, условие сохранения массы содержится в уравнениях Фридмана. Воспользовавшись этим условием, определим постоянную а следующим образом:
а =
SnpRs
(42.6)
Величина а остается постоянной в процессе эволюции Вселенной. Различные значения а будут приводить к различным моделям Вселенной, т.е. моделям, характеризующимся различными размерами. Зная а, мы можем непосредственно связать р и R. Проще всего получить R из уравнения (42.3):
Приведенное уравнение
R(R')2 + R = a.
(42.7)
Нахождение интеграла движения понижает порядок дифференциального уравнения со второго до первого.
Смысл постоянной а можно выяснить, рассмотрев уравнение (42.7). Если в некоторый момент времени
то тогда, очевидно,
R= 0,
R = а.
Из уравнения (42.1) в этом случае имеем
R" < 0;
(42.8)
(42.9)
(42.10)
иными словами, рассматриваемое состояние Вселенной будет состоянием ее максимального расширения, а постоянная а имеет смысл максимального радиуса. Функция R(t) не может иметь никакой другой стационарной точки, следовательно, минимального отличного от нуля радиуса Вселенной не существует.
Уравнение (42.7) можно также записать в дуговом времени:
Я),
(42.11) 42. Замкнутая пылевая Вселенная
337
откуда после интегрирования получаем: R(T1) = a
COS Tj)
(42.12)
Постоянная интегрирования выбрана так, что t = О при R — = 0. Соответствующая зависимость представлена на рис. 42.1.
Для астрономических целей дуговое время — наиболее удобная временная переменная. Для геологических же целей, например для установления возраста горных пород и звезд, более удобно собственное время. Для преобразования одного времени в другое можно воспользоваться соотношением
J-^=K(Tj) = I (1 — cos 7j), из которого после интегрирования получаем
а
t(y) = 2 О?
sin Tj).
(42.13)
(42.14)
