Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 120

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 139 >> Следующая


и1 + »« = 1

Рис. 44.3. Рис. 44.4

Две проходящие через P различные линии, которые не пересекают линию/..

23-649 354

Гл. IV. Космология

геометрии. Поработайте с ним, чтобы развить свою интуицию. Рисунки Эшера под названием «Предел на круге» — это не что иное, как псевдосферы, полученные с помощью такого представления.

Непосредственным обобщением рассмотренной

3-псевдосфера 2-псевдосферы является 3-псевдосфера. В 4-пространстве с ло-ренцевой метрикой она может быть представлена следующим множеством точек:

W2 — X2 — у1 — Z2 — 1 ¦ (44.23)

В параметрическом виде это множество задается уравнениями

»V = Ch X,

Z = sh X cos 0,

X= sh X sin 0 cos ф,

у = sh X sin 0 sin ф,

(44.24)

а наследуемая им метрика имеет вид

& = dx2 + sh 2 X dd2. (44.25)

Глобальная структура в координатах (х, в, Ф) имеет тот же вид, что и в обычных сферических полярных координатах (г, в,ф).

Пример

Множество всех 4-скоростей в пространстве-времени Минковского представляет собой 3-многообразие. Если расстояние в таком многообразии определяется по относительной скорости, то соответствующее пространство скоростей обладает геометрией псевдосферы. Координата х отвечает быстроте ф, введенной в разд. 9.

ЗАДАЧИ

44.1. (19) Конечна или бесконечна площадь треугольника, изображенного на рис. 44.4?

44.2. (30) Рассмотрите уравнения для отображения, представленного на рис. 44.2. Опишите получающееся изображение. Является ли оно конформным? 45. Пылевые и радиационные фридмановские Вселенные

44.3. (25) В координатах (х, ф) получите три описанных в тексте векторных поля, которые порождают преобразования изотропии и однородности на поверхности 2-псевдосферы.

44.4. (28) Покажите, что дуговое расстояние х между двумя точками на псевдосфере задается соотношением

ch X =-А В,

где А и В представляют собой 4-векторы в фиктивном лорен-цевом 4-пространстве. Воспользуйтесь симметриями псевдосферы, чтобы упростить доказательство.

44.5. (35) Используя аргументы, аналогичные примененным в задаче 12.8, покажите, что угол в с вершиной В и сторонами BA и ВС задается соотношением

со„д_ (A-C)+ (B-A)(B-C)

[(В -AY-\]W[(B -С)2 -I]1'2 '

где

AA = BB = CC = -1.

44.6. (26) Используя приведенный выше результат, найдите аналог закона косинусов для псевдосферических треугольников

ch в = ch Ъ ch с — sh b sh с cos A,

где a, ft и с — три дуговые длины сторон, а А — величина угла, противоположного стороне а.

44.7. (28) Используя результаты предыдущих задач, найдите аналог закона синусов

sin А _ sin В _ sin С sh a sh b sh с

44.8. (24) Покажите, как угадать закон косинусов для углов

cos А = —cos В cos С + sin В sin С ch о

из соответствующего закона для сферических треугольников. Что можно сказать относительно знаков?

45. Пылевые и радиационные фридмановские Вселенные

Мы можем решать уравнения Фридмана для пылевой Вселенной также и для двух других случаев: критической Вселенной, пространственные сечения которой представляют собой евкли-

23' 356 Гл. IV. Космология

довы 3-пространства, и открытой Вселенной, пространственные сечения которой представляют собой 3-псевдосферы. Тогда как объем Вселенных, сечениями которых являются 3-сферы, в каждый момент времени ограничен (поэтому такие Вселенные и называются замкнутыми), другим двум упомянутым случаям всегда соответствуют бесконечные пространственные сечения. Уравнения Фридмана могут быть также решены для того случая, когда материя, содержащаяся во Вселенной, удовлетворяет уравнению состояния излучения. Мы перечислим здесь свойства всех этих решений, чтобы они также могли служить основой для построения космологических моделей.

Для других моделей пылевых Вселенных, как и раньше, уравнения Фридмана могут быть решены. Во всех этих случаях величина

a s 8тTpR3 (45Л)

3

является интегралом движения. В открытом случае решение содержит гиперболические функции, а критическом — степени. Критический случай иногда называют евклидовой моделью. Такое наименование приводит к недоразумениям, поскольку эта модель описывает все-таки искривленное простраиство-время. Иногда ее называют также моделью Эйнштейна — де Ситтера. Рассматриваемые решения приведены в табл. 45.1. В

ТАБЛИЦА 45.1. СВОЙСТВА ПЫЛЕВЫХ ФРИДМАНОВСКИХ ВСЕЛЕННЫХ

Параметр Замкнутая Критическая Открытая

f (ch т, - 1)

§ (sh V ~ V)

2 sh т) (ch V - I)2

1

Cch 7, - 1)3

2

1 + Ch4 1

1 + ch п

На

Trpa2 3

а

Яо

|(1 - cost))

|(т) — sin tj)

2 sin ц

(1 — cos т))г

1

(1 - cos .j)3 2

1 +cos т) 1

1 + cos т)

art' 4

at)3 12

TT 45. Пылевые и радиационные фридмановские Вселенные

357

открытой модели масштабный фактор больше не имеет отношения к такому наглядному понятию, как длина большой окружности, однако он все же задает масштаб, на котором становятся существенными эффекты кривизны.

Как евклидова, так и открытая Вселенные расширяются вечно. Прошлое таких Вселенных заключено лишь в конечном промежутке собственного времени, до которого они пребывали в состоянии, аналогичном состоянию исчезающе малого радиуса в замкнутых Вселенных; однако будущее для них неограниченно. Если мы сможем сделать выбор между открытой и замкнутой моделями, то сумеем разрешить и проблему будущего Вселенной.
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed