Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим совокупность фотонов, испущенных в узком Пучок фотонов спектральном диапазоне с частотами от v до v + Av, в пределах которого светимость источника Lv остается постоянной. ПусТь Nv — число фотонов, испущенных за одну секунду в полосе частот один герц. Тогда имеем
Lv = hvNv,
(46.1)
где мы воспользовались планковским законом для энергии фотона
E=hv.
(46.2)
Почти всегда в космологических рассуждениях полагают, что этот закон справедлив в течение всего времени эволюции Вселенной. Зависимость постоянной Планка А от времени измени- 366
Гл. IV. Космология
Источник Приемник
Рис. 46.1
ла бы некоторые тонкие особенности распределения энергии в спектрах далеких объектов. Поскольку у близких и далеких источников характер спектров один и тот же, за время существования Вселенной могло произойти лишь очень малое изменение А. Пусть, далее, л означает наблюдаемую скорость поступления фотонов, отнесенную к единичной площади. Тогда справедливо следующее соотношение:
Fva = hu0n„
(46.3)
Из-за космологического красного смещения частота принятого света с0 меньше частоты испущенного:
— = (1 + г). Vu
(46.4)
Фотоны, испущенные в спектральном диапазоне Дк, принимаются в более узком диапазоне Av0, а именно
(46.5)
Оболочка UJ фотонов
Рис. 46.2
Сечение нашего пространства-времени в момент показанный на рис. 46.1. Рассматриваемые фотоны образуют в этом сечении оболочку с координатным радиусом х-
Это выражение справедливо при условии, что закон красного смещения линеен.
Рассмотрим теперь фотоны, испущенные за промежуток времени At. Они будут приняты за другой промежуток времени At0, который также подвергнется преобразованию за счет красного смещения:
f-U + z).
(46.6)
Таким образом, мы имеем дело с определенным числом фотонов, испущенных за промежуток времени At в конкретном спектральном диапазоне шириной Av, как показано на рис. 46.1.
На рис. 46.2 те же самые фотоны изображены в модели трехмерного шара для нашего пространства-времени. Они распространились на дуговое расстояние х от источника, который мы поместили на Северном полюсе, х = 0- Дуговое расстояние задается выражением
X = Vo -
(46.7)
в котором дуговое время ц определяется из соотношения
(46.8)
a + Z)-fjgi 46. Диаграмма Хаббла
367
В последнем соотношении должна фигурировать соответствующая функция R. Все рассматриваемые фотоны пересекают 2-сферу, показанную на рис. 46.2. Площадь поверхности 2-сферы вычисляется по формуле
Л =4т7-/?о252(х). (46.9)
Число испущенных фотонов должно быть равно числу принятых на 2-сфере. Таким образом, должно выполняться равенство
Lv-At = Fvo^At0A, (46.10)
V Vq
откуда получается следующее фундаментальное соотношение:
F"° = 4ITR§(I + z)S4X)' (46Л1)
Это соотношение устанавливает связь между наблюдаемым потоком и собственной светимостью для источника и наблюдателя, покоящихся в произвольной модели пространства-времени Робертсона — Уокера.
Соотношение (46. II) не очень удобно для практического ис- Новые переменные пользования. Действительно, масштабный фактор R0 совершенно неизвестен; точно так же мы очень мало знаем о величине абсолютной светимости. На графиках обычно изображают логарифм от Fvo, чтобы превратить упомянутую неопределенность в численном коэффициенте в простой параллельный перенос. Далее, для малых z имеем
так что для близких объектов с одной и той же абсолютной светимостью наблюдаемый поток будет отличаться как l/z2. Это обычный закон обратных квадратов. В случае больших z мы анализируем раннюю Вселенную. Дуговое расстояние х в пределе переходит в Ii0, а поток из-за красного смещения изменяется как (1 -I- г)-1. Чтобы отделить эффекты искривленного пространства-времени от указанных известных эффектов, рассмотрим величину
н <46j3'
При малых Z выражение под знаком логарифма ведет себя как Z2F11^, так что оно постоянно в пределе z —- 0. При больших z 368
Гл. IV. Космология
0,5 0,4 0,3 0,2
I"'1
Ф о
Jo., -0,2 -0,3 -0,4 -0,5
і
Рис.
0.25 Ofi 1
4 9
~ ъ ^^Излучение Пыль или q0 = 1 излучение
Излучение
I 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
46.3
[Поскольку <р- и Ol, <р)-диаграммы недавно введены мной, они еще не получили широкого распространения.]
Перспективы
оно ведет себя как zFu и тоже остается постоянным. Величина
vO
<р (46.13) определена только через наблюдаемые величины. Астроном может вычислить <р, не используя никакой космологической теории. Мы можем предсказать вид соотношения (х. г) на основе той или иной конкретной космологической модели. Из выражения (46.11) вытекает
г , 1 ,.Lv
<р= Ig
(1 + z)S (х)
2 18 4тг/?02'
(46.14)
причем неизвестные Lv и R0 появляются в этом выражении лишь в постоянном члене. Здесь X в соответствии с соотношениями (46.7) и (46.8) является функцией от z. Зависимость ее от космологической модели заключена в данном случае в параметре V0-
Поскольку <р при больших z стремится к постоянному пределу, соответствующие кривые при. таких z становятся малонаглядными. Более удобно характеризовать красное смещение естественной переменной
