Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(ЕЛ2.+J^ = Ziir \r) r2 3 '
(48.2)
Кроме того, нужно еще третье соотношение для давления р. Последнее может задаваться какой-либо аналитической функцией, таблицей или машинным алгоритмом. Уравнения (48.1) и (48.2) всегда содержат закон сохранения-энергии, который, как и раньше, мы можем использовать для понижения, порядка одного уравнения. Закон сохранения энергии имеет вид
і (Р*3)+Pft(K3)=O-
(48.3)
Закон сохранения в общем виде 374
Гл. IV. Космология
Это обычный закон, который говорит нам о том, что
d „ г/
— (Энергия) = - Давление ¦ —(Объем). dt dt
(48.4)
Доказательство
Умножим уравнение (48.2) на A3 и продифференцируем; в результате получим
(R'Y + 2RR'R"+KR' =Jt^fpR3)- (48.5)
После умножения уравнения (48.3) на R2R' имеем
(R')3 + 2RR R" + «R' = -SirpR2R'. (48.6) Из этих соотношений легко получить закон сохранения.
Система уравнений первого порядка
Наша система уравнений состоит теперь из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
dR /SnpR2 У'2
A-I 3 к) '
= ( )3(p + p)dR
dt
R
dt
и уравнения для дугового времени
^Z = I
dt R-
(48.7)
(48.8)
(48.9)
В ранней Вселенной многое происходит в течение очень короткого интервала собственного времени. Если вместо собственного мы применим дуговое время, то мы сможем растянуть этот интервал. Сравните рис. 42.1 и 42.2. Наши уравнения в дуговом времени имеют следующий вид:
Уравнения в дуговом времени
dp = -3(р + р) dR di] R di]'
ai dt\
= R.
(48.10)
(48.11)
(48.12)
С помощью этих функций мы можем отвечать на общие космологические вопросы. 48, Космология «сделай сам»
375
Если мы попытаемся интегрировать выписанные уравнения вперед, начиная с момента времени t = 0, то столкнемся с массой затруднений. Это связано не только с тем, что значение р бесконечно, а значение R равно нулю, но и с трудным вопросом о выборе начальных значений. Вместо этого будем вести расчет назад от современного момента времени. Что мы будем использовать в качестве начальных значений? Масштаб собственного времени сдвигово-инвариантен; следовательно, при желании мы можем современному моменту времени присвоить значение, равное нулю. Различные модели получаются из различных значений р0 — существующей в настоящее время плотности энергии. Эта величина и будет одним из свободных па- Начальные значения раметров в наших моделях. Другим таким параметром является постоянная Хаббла H0. Из уравнения (48.7) имеем
= (4813)
поэтому постоянная Хаббла и плотность определяют начальное значение для R. Начальные условия могут быть также просто заданы с помощью параметра плотности
По = (48-14)
5Щ
Коль скоро есть у нас уравнения и начальные значения, ну- Численный алгоритм жен какой-либо алгоритм для решения дифференциальных уравнений. В качестве алгоритма, приемлемого для микрокалькулятора, является схема Рунге — Кутта второго порядка. Для дифференциального уравнения
л=Яу) (48-15)
упомянутая схема задает переход от значений в момент t к значениям в момент t -I- Д/ в соответствии с формулой
y(f + At) = y(t) + Дг/{у(0 +у/[у(0]}. (48.16)
Новое грубое значение у на полшага вперед вычисляется в этой схеме исходя из выражения
y(t)+ff[y(t)],
(48.17) 376
Гл. IV. Космология
которое представляет собой первый член ряда Тейлора. Затем в схеме Рунге — Кутта для вычисления у на полном шаге вперед используется производная в точке (48.17). Это эквивалентно взятию вторых производных, но с бблыпим объемом вычислений и меньшими усилиями на программирование. Описанный алгоритм нетрудно распространить на произвольную систему уравнений.
Пример
Посмотрим, как ведет себя смесь пыли и излучения. Будем сравнивать две различные модели: одна из них — чисто пылевая, характеризующаяся современными значениями
H0 = 50 км/(с • Мпс),
(48.18)
П = 0,043,
а другая в настоящее время содержит столько же вещества, сколько излучения:
П = 0,086. (48.19)
Плотность энергии пылевой Вселенной равна
ЗО .г»2 _ Р = ЬтЩ-
= 1,35 • IO-38C-2. (48.20)
Начальное значение для R получается из выражения (48.13): (R0H0)2= (П* J)! (48.21)
для чистой пыли
R0 = 6,31 • IO17 с. (48.22)
Чисто пылевая модель позволяет проконтролировать результаты нашего численного расчета, поскольку мы уже знаем соответствующее решение. Нам нужно как-то вычислить давление. Допустим, что пыль и излучение не взаимодействуют. Пусть е означает долю энергии, заключенной в излучении в момент S0. Тогда энергия излучения растет как R0ZR по отношению к энергии пыли. Давление будет равно 1/3 от энергии излучения, т.е.
V (48"23)
3(R + єR0), где р — полная плотность энергии. 48, Космология «сделай сам» 377
—Z-
Рис. 48.1
Луговое расстояние как функция красного смещения для двух моделей Вселенной: пылевой и радиационно-пылевой, в предположении, что пыль и излучение не взаимодействуют между собой.
Рис. 48.2
Собственное время между моментом, отвечающим красному смещению z, и настоящим моментом времени для наших двух моделей.
