Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
которое имеет смысл закона тяготения Ньютона при G= 1. Интеграл движения (закон сохранения энергии) можно получить, умножив уравнение (47.3) на г':
1 d d_(M\
2 dt(r ' dt\T J
Интегрирование последнего уравнения дает
r(r')*-2Er = 2M,
(47.4)
(47.5)
Коллапс пылевого облака
Пробная масса
J
Рис. 47.1
где величина Е, представляющая собой постоянную интегрирования, имеет смысл полной энергии облака, т.е. суммы кинетической и отрицательной гравитационной энергии.
Затем мы уподобим рассматриваемое пылевое облако некоторой сферической части расширяющейся фридмановской пылевой Вселенной. Для этого будем сопутствовать веществу, заключенному внутри малой сферы с фиксированным дуговым радиусом Xo < < 1 • Собственный радиус равен
r = R(t)x о, (47.6)
а его динамика задается уравнением, которое получается из уравнения Фридмана
R(R1)2jTkR = а
(47.7)
з.
посредством умножения на величину Xq<
Пылевая Вселенная
г(г')2 + (кХо3)г= (ах о)3.
(47.8)
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (47.5) для ньютоновой сферы, если принять для массы вещества внутри сферы следующее выражение:
M-Bf.
(47.9)
24» 372
Гл. IV. Космология
[Это верно только для маленькой сферы. Для большой сферы трудно определить полную массу, поскольку собственный радиус и собственная длина большой окружности не связаны евклидовым выражением.]
Влиянием Вселенной можно пренебречь
Используя определение а, получаем
M =^p(Rxo)3 = ^fpr3; (47.10)
эта величина действительно представляет собой массу, заключенную внутри малой сферы во фридмановской Вселенной. Постоянная E имеет смысл полной энергии облака и зависит от его размера и начальных условий. Если E < 0, то сфера ограниченна и может расширяться лишь до некоторого максимального размера, а затем коллапсирует, что соответствует поведению замкнутой Вселенной, т.е. случаю *• = 1.
Таким образом, мы видим, что динамика малого облака вещества не подвержена воздействию расширяющейся Вселенной, — результат, представляющий собой обобщение ньютонова результата, состоящего в том, что сферически-симметричное распределение масс не влияет на вещество, находящееся внутри. Тогда можно рассмотреть сферическую полость, вырезанную во фридмановской Вселенной. Сформируем из полученной описанным образом материи галактику, содержащую IO11 звезд. Динамика такой галактики должна быть ньютоновой, и эта галактика не будет расширяться по мере расширения Вселенной. Хотя приведенный вывод довольно нестрог, на деле его не удается существенно уточнить. Между прочим, в радиа-ционно-доминированной Вселенной нельзя надеяться вырезать такую дыру, поскольку в этом случае внутри галактики всегда должна быть определенная плотность энергии излучения. Утрата какого-то количества энергии излучения заставила бы галактики слегка расширяться по мере расширения Вселенной.
Чем больше мы размышляем о полученном результате, тем менее очевидным и более удивительным он становится для нас. Можно было бы предположить, что гравитационная потенциальная энергия всей Вселенной в том или ином смысле существует. Однако общая теория относительности часто действует так, будто гравитационное поле не имеет энергии. Это необходимо, чтобы дать конечное описание бесконечной Вселенной.
ЗАДАЧИ
47.1. (19) Завершите рассуждения в тексте и покажите, что однородное распределение плотности сохраняется.
47.2. (36) Предположим, что мы живем во Вселенной с Q = 2, заполненной излучением. По мере ее расширения масса излуче- 48, Космология «сделай сам»
373
ния, заключенного внутри орбиты Земли, изменяется. Насколько изменился бы орбитальный период Земли через миллион лет? Решение поставленной задачи требует более глубоких знаний по классической механике, чем многие из вас имеют. Нужно иметь представление об адиабатических инвариантах.
48. Космология «сделай сам»
В предыдущих космологических моделях использовались нереалистические уравнения состояния, благодаря чему можно было решить получающиеся уравнения. В общем случае нельзя надеяться, что нам удастся найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений в элементарных или известных специальных функциях. Обычно такая система будет определять новые функции, так что приходится искать численное решение. Используя портативный калькулятор с программным управлением, вы можете без труда построить космологические модели для любого уравнения состояния. Сейчас мы покажем, как это делается. Вы можете сделать для себя лучшую модель Вселенной, чем любая из тех, которые были здесь предложены. К тому же проведение вычислений в организованной форме, необходимой для компьютера, может дать болг ие для понимания проблемы, чем точные аналитические решения в специальных случаях.
Система уравнений для произвольной фридмановской Все- Уравнения Фридмана ленной имеет следующий вид:
2т+{?f+ib+8ітр=(48-
[Тем, кто действительно этим заинтересуется, рекомендую книгу [I], содержащую много хорошего материала по численным методам.]
