Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Динамика пространства-времени
[Вывод можно найти в гл. 10 книги [25].]
Опорная космическая система отсчета
Материя
Пыль
лях пространства-времени Робертсона — Уокера. Здесь будет пробел в нашем рассмотрении. К сожалению, мы пока не умеем применять уравнения Эйнштейна, выписанные на с. 298, к моделям пространств-времени Робертсона — Уокера. Нужно потратить определенное время, чтобы овладеть в достаточной мере геометрическим формализмом. Лишь тогда вычисление тензоров кривизны не будет казаться весьма сложным делом. Уравнения Эйнштейна устанавливают взаимосвязь между динамикой пространства-времени и энергией, импульсом и натяжением содержащейся в нем материи. В результате вычислений получаются обыкновенные дифференциальные уравнения для масштабного фактора Rft), плотности энергии и давления содержащегося во Вселенной вещества. На основе этих обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Фридмана, мы сможем продолжить наше изучение космологии без дальнейших пробелов.
Задаваемая уравнениями Эйнштейна взаимосвязь между пространством-временем и содержащейся в нем материей такова, что симметричному пространству-времени должно соответствовать в той же степени симметричное распределение материи. Рассмотрим тела в опорной космической системе отсчета, ось времени которой ориентирована по направлению d/dt. Если бы в этой системе существовал какой-либо результирующий поток энергии, то он выделял бы некоторое особое направление. Это обстоятельство противоречило бы предполагаемой изотропии пространства. Аналогично из всех натяжений допустимо лишь изотропное давление. Другие натяжения, такие, как сдвиг, противоречили бы изотропии. Таким образом, набор возможных параметров, характеризующих материю и совместимых с предполагаемой нами симметрией, исчерпывается плотностью энергии p(t) и давлением (плотностью потока импульса) p(t). Несмотря на то что обе эти величины изменяются С течением времени, они не должны зависеть от X. о и ф.
Различные виды материи характеризуются различными соотношениями между давлением и плотностью. Такое соотношение называется уравнением состояния. Мы будем подробно изучать лишь два основных вида Материи. Первый, называемый пылью, описывается уравнением состояния
P = 0. (41.1)
Излучение
Второй мы будем называть излучением; этот вид материи 41. Фридмановские Вселенные
333
характеризуется уравнением состояния
(41.2)
Для описания сглаженной жидкости, частицы которой представляют собой обычные галактики, воспользуемся уравнением состояния пыли. Чтобы показать, что давление таких частиц пренебрежимо мало, полезно пояснить понятие давления. Начнем с импульса. Импульс есть поток массы (энергии). Аналогично натяжение (давление) есть поток импульса. Поток импульса характеризует величину, которую обычно называют силой, приходящейся на единичную площадь. В жидкости, состоящей из частиц массой т, движущихся со скоростью v во всех направлениях, энергия, приходящаяся на одну частицу, ведет себя как 7т. Импульс есть поток энергии. Для одной частицы он равен скорости, умноженной на плотность энергии, т.е. vym. Это векторная величина, и в газе, состоящем из частиц, которые движутся во всевозможных направлениях, общий поток импульса равен нулю. Аналогично давление представляет собой поток импульса, и для одной частицы оно ведет себя как v2ym. Оно не равно нулю даже для частиц, движущихся во всех направлениях, поскольку изменяется как v2. Для частиц типа галактик наблюдаемые случайные скорости имеют порядок 300 км/с, т.е. IO-3 от скорости света. Давление меньше плотности энергии благодаря множителю v2, имеющему порядок IO-6. Таким образом, мы видим, что в настоящее время давление обычных галактик не играет существенной роли в эволюции Вселенной.
Ситуация с излучением иная. Допустим, что частицы движутся со скоростью V, близкой к скорости света. Тогда величина, характеризующая среднее давление, будет содержать среднее от V2 по всем направлениям. Поскольку независимых направлений три, среднее равно 1/3; следовательно, уравнение состояния для частиц, движущихся со скоростью света, имеет вид
Р = Ьр-
Галактики
[«Следовательно» — сказано слишком сильно; приведенные соображения, однако, по крайней мере уменьшают степень неожиданности.]
(41.3)
Это уравнение состояния описывает чернотельное излучение, представляющее собой хаотический фотонный газ.
Наша космологическая модель содержит три функции времени: масштабный фактор R, плотность энергии р и давление р. Из уравнений Эйнштейна получаются два обыкновенных дифференциальных уравнения для этих функций, а роль третьего уравнения играет уравнение состояния. Обыкновенные дифференциальные уравнения, получающиеся из собственно общере-
Уравнения Фридмана 334
Гл. IV. Космология
лятивистских расчетов, имеют следующий вид:
(41.4)
(41.5)
где
R' = dRjdt
(41.6)
и к определяется соотношением
S" = -KS,
(41.7)
т.е. к = +1 для 3-сферы, к-0 для 3-пространства и /с = — 1 для 3-псевдосферы. Модель пространства-времени Робертсона — Уокера, удовлетворяющая приведенным выше уравнениям и соответствующему уравнению состояния, называется фридмановской Вселенной.
