Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
9 = -dt2 + R2(t) [dx2 + S2(X) dil2]. (37.11)
Временной параметр t отвечает собственному времени вдоль мировой линии, где X. 9 и ф постоянны. Такие линии задают опорную космическую систему отсчета. Как показали недавние измерения температуры микроволнового фонового излучения, мировая линия нашей Галактики является примерно такой мировой линией. Скорость нашей Галактики относительно упомянутой опорной космической системы отсчета составляет величину меньше IO-3 от скорости света
Функция R(t) все еще подлежит определению. Представленная выше метрика содержит кинематические ограничения на однородность и изотропию. Динамика же должна задаваться теорией тяготения, скажем, общей теорией относительности. Все модели пространства-времени приведенного выше вида называются моделями пространства-времени Робертсона — Уокера. Прежде чем вводить в рассмотрение динамику, конкретизируемую общей теорией относительности, остановимся более подробно на изучении удивительной геометрии 3-сферы и 3-псевдосферы.
'' Приведенная оценка нуждается в уточнении. В 1977 г. американские радиоастрономы Дж. Ф. Смут, M. В. Горенштейн и Р. А. Мюллер установили, что скорость движения Солнечной системы относительно введенной в тексте опорной космической системы отсчета составляет (390 ± 60) км/с. Используя данные о скорости вращения Галактики, удается оценить скорость движения центра Галактики относительно микроволнового фонового излучения величиной порядка 600 км/с, т.е. 2 • Ю-3 от скорости света. — Прим. ред. 314 Гл. IV. Космология
ЗАДАЧИ
37.1. (08) Во всех направлениях в нашей Вселенной вдалеке от нас наблюдается большая плотность квазаров, чем вблизи. Не ставит ли нас это обстоятельство в выделенное положение во Вселенной?
37.2. (12) Придумайте пространство-время, которое однородно, но не изотропно.
37.3. (18) Изотропно ли пространство-время с метрикой
<3 = y*(dx? + dy*)?
37.4. (15) Почему в настоящем разделе не рассмотрено пространство-время с двумя неизвестными функциями:
Cf = -A2(t) dt2 + R2(t) [dx* + S2(x) da,2]?
37.5. (24) Получите метрику полуплоскости Пуанкаре
dx* + dy2 У2
в новых координатах (и, и), определенных соотношениями
Z = X + iy,
W = U + iv,
2 ^ . W = —— + І.
Z + I
Все отображения, задаваемые комплексными переменными, обладают свойством конформности, что показано в любой книге по теории функций комплексного переменного. Доказательство несложно. Используйте эту конформность, чтобы упростить расчет.
37.6. (19) Используя (и, !^-представление задачи 37.5, покажите, что полуплоскость Пуанкаре изотропна.
37.7. (31) Покажите, что модель пространства-времени Минковского может быть записана в виде модели пространства-времени Робертсона — Уокера с S (х) = х или S(x) = shx- 38. Глобальная структура 3-сферы
315
38. Глобальная структура 3-сферы
За исключением тривиальных случаев, разобраться в структуре 3-пространств совсем не просто. В то время как можно научиться зрительно представлять себе 2-сферы в достаточно малом числе измерений (по крайней мере в четырех или пяти), представить себе трехмерные объекты даже в случае евклидова 3-пространства весьма сложно. Архитекторы тратят годы, чтобы развить в себе это умение. Только обладая хорошо развитым воображением, можно зрительно представить себе 3-сферу. Чтобы обойти трудности, связанные с ограниченностью нашего воображения, мы должны придумать такие представления, которые заслуживали бы полного доверия. С целью приобретения соответствующих навыков остановимся сначала на нескольких представлениях для 2-сферы, а затем перейдем к 3-сфере.
Наиболее естественное представление 3-сферы, которую мы будем для краткости именовать S3, использует концепцию фиктивного евклидова 4-прострацства. Пусть (х, у, z, w) — прямоугольные координаты в этом пространстве. Множество точек, расположенных на единичном расстоянии от начала координат,
X2+у2+ Z2+ W2= 1, . (38.1)
имеет глобальную структуру 3-многообразия S3. Это естественное обобщение 2-сферы — множества точек, расположенных на единичном расстоянии от начала координат в евклидовом 3-пространстве. К этому утверждению следует отнестись внимательно, но не понимать его слишком буквально! Многообразие S3 не тождественно введенному выше множеству точек. Утверждается лишь, что S3 обладает той же самой глобальной структурой, что и рассматриваемое множество точек.
Можно ввести такие координаты на S3 (а фактически на всех S"), которые аналогичны обычным сферическим полярным координатам. Однако прежде чем делать это, проследим внимательно соответствующую процедуру для случая S2. (Обычно сначала рассматривают аналоги, имеющие меньшее число измерений.)
Обычные сферические полярные координаты на S2 определяются посредством соотношений
X = sin в cos ф,
J = sin 0 sin ф,
Z = cos в.
Проблемы зрительного представления
[См. небольшую заметку об искривленном пространстве в августовском выпуске журнала Scientific American за 1976 г. Она содержится также в сборнике [12].]
Погружение [Читай «S три».]
