Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Северный полюс центр шара
Линия точен, показанных как окружноАпи на предыдущем рисунке
ЗАДАЧИ
38.1. (06) Что представляет собой острая кромка кусочка сыра, изображенного на рис. 38.8 (ближайшая к нам вертикальная линия): линию или точку? Найдите ее в модели трехмерного шара.
38.2. (16) Рассмотрите более подробно переход от рис. 38.10 к рис. 38.11. Сделайте несколько промежуточных рисунков.
38.3. (28) Начав с рис. 38.7, восстановите S3 в следующей последовательности. Сначала соберите N в одну точку, затем склейте отождествляемые участки и сожмите окружности. Что получится в итоге? Нарисуйте. 38. Глобальная структура 3-сферы
38.4. (20) Соберите бутылку Клейна, представляющую собой квадратный участок плоскости с правилами отождествления краев, указанными на рис. 38.12. Используйте цвет для четвертого измерения. Что можно сказать относительно использования времени для представления четвертого измерения?
38.5. (22) На рис. 38.13 изображена дважды скрученная полоска. Полоска, скрученная один раз, была бы листом Мёбиуса. Покажите, как раскрутить эту полоску, не продевая ее сквозь себя, если допускается движение в четвертом измерении. Нарисуйте.
38.6. (10) Постройте диаграмму для окрестности Северного полюса на 2-сфере. Выпишите фактические отображения.
38.7. (12) Сделайте для S3 то же самое, что и в задаче 38.6.
38.8. (15) Постройте диаграмму для окрестности международной линии смены дат на 2-сфере.
38.9 (20) Постройте такую же диаграмму, как в задаче 38.8, для поверхности отождествления ф = 0, 2тг на S3.
38.10 (23) Геодезическими на S2 служат большие окружности, получающиеся при пересечении сферы с плоскостями, проходящими через начало системы координат евклидова 3-простран-ства, с которого мы начинали наше рассмотрение. Что представляют собой эти кривые на (0, <?)-диаграмме?
и і-» (в, ф) = + sin s, sin 3j).
38.11. (30) Проведите для S3 такое же рассмотрение, как и в задаче 38.10.
38.12. (13) Каждая из двух линий А и В, показанных на рис. 38.14, проходит через Северный полюс. Чему равен угол между ними? Представьте как графическое решение, так и аккуратное доказательство с использованием диаграммы, адекватной оригиналу в окрестности полюса. Где должно быть продолжение линии Bl
38.13. (33) Рассмотрите множество всех геодезических на S2. Это множество является многообразием. Покажите, что оно представляет собой часть S2, имеющую размерность два, но с некоторыми отождествлениями. Такое многообразие называется RP2, или действительным проективным 2-пространством.
Рис. 38.13
JTT^
1—1_L
о Z Vi S
3 2 —
Рис. 38.14
о
I,
21* 324
Гл. IV. Космология
38.14. (30) Как и лист Мёбиуса, RP2 имеет только одну сторону. Внутреннее (т.е. в пределах поверхности) описание этого свойства может быть реализовано при помощи следующего приема. Попытаемся самосогласованным образом заполнить RP2 подходящими для этой цели буквами (скажем, В, но не S). Покажите, что такое заполнение может быть осуществлено для S2, но не для RP2.
38.15. (28) Опишите свойства кривой, заданной на S2 уравнением
и н> (в, ф) = Г? + sin s, sin Зі).
39. Метрическая структура 3-сферы
Рассмотрев глобальную структуру S3, обратимся теперь к ее локальной метрической структуре. Однородность и изотропия S3 относятся к ее метрической структуре. Мы можем получить эту метрическую структуру (появление которой в разд. 37 было подобно грому среди ясного неба), используя представление S3 как подпространства евклидова 4-пространства. В следующем разделе мы сможем начать изучение космологических моделей, построенных на основе S3.
Метрика из погружения Итак, рассмотрим представление S3 как трехмерного под-
пространства евклидова 4-пространства. Мы можем воспользоваться методами разд. 20, чтобы ограничить базисные 1-формы этого 4-пространства на S3. Поскольку метрика на 4-про-странстве может быть записана при помощи этих базисных 1-форм, она также может быть ограничена на S3. Таким образом мы можем получить естественную метрику на S3.
Пример 1
2-сфера Рассмотрим сферу как подпространство евклидова 3-простран-ства и рассчитаем ограничение 1-формы dz. Координата z представляет собой функцию на этом подпространстве:
IR; (0, ф) н> cos 0.
(39.1)
Как функция на S2 она обладает градиентом, который мы обозначим dz*. Таким образом.
dz* = —sin в de.
(39.2) 39. Метрическая структура 3-сферы
325
Полученная 1-форма на 52 является ограничением dz как 1-фор-мы на 3-пространстве. Как только мы определили ограничение базисных 1-форм, любая 1-форма может быть подвергнута этой операции.
Заметим, что наша теория развита как раз в форме, удобной для таких расчетов. Подпространства определены аналогично параметризованным кривым как отображения в пространство большего числа измерений; 1-формы всегда могут быть ограничены на подпространство, т.е. в направлении, противоположном направлению действия преобразований.
Мы можем также ограничить dx и dy на подпространство. Соответствующие формулы имеют вид
