Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[В настоящем разделе постепенно выяснится, что я понимаю под глобальной структурой.]
Сферические полярные координаты
(38.2) 2-сфера 316
Гл. IV. Космология
Глобальная топология
[Этот удобный географический язык связан с геометрией только через оставшееся «reo».]
[Напомним, что формально диаграмма должна быть открытым множеством, и в этом случае вопрос о краях не возникает. Мы сочли более уместным включать в рассмотрение края и отождествлять повторяющиеся точки, чем использовать несколько диаграмм для описания множеств, являющихся многообразиями.]
[Теперь вы должны начинать понимать, что подразумевается здесь под «глобальной структурой». Она определяется характером отождествления краев.]
Поскольку
** + у. = sin2 05 (38.3)
имеем
Jf2 + у2 + Z2 = 1 (38.4)
для всех 0 и ф. Каждая пара значений (0, Ф) задает одну точку на S2, причем различным значениям (0, ф) может соответствовать одна и та же точка. Величины г и 0 здесь связаны непосредственно: каждое значение z реализуется один и только один раз, когда 0 пробегает область
О < в =S 77. (38.5)
При фиксированном z точки заметают окружность, задаваемую уравнением
X2+ у2 = \-Z2, (38.6)
так что собственная область изменения ф должна иметь вид
О < ф < 2тг. (38.7)
Таковы собственные области изменения наших координат. Что же происходит на краях этих областей? Для каждого значения 0О координаты (0Q, 0) и (0О, 2т) задают одну и ту же точку на S2. На поверхности Земли получающийся таким образом «шов» называется международной линией смены дат. На полюсах координаты (0, ф{) и (0, ф2) задают одну и ту же точку для любых значений ф1 и ф2. На рис. 38.1 представлена (0, ф)-диаграмма с указанием надлежащих краевых условий. Легко
Юасный полюс-одна точка
0 J _^ 2іг
Северний папюс-одна. точка
Рис. 38.1
Координатная диаграмма для 2-сферы. Двойные линии представляют собой в действительности отдельные точки, штриховые — одну и ту же линию. 38. Глобальная структура 3-сферы 327
убедиться, что эта диаграмма не содержит других составных точек. Договоримся изображать штриховой линией те швы, которые подлежат отождествлению, а двойной чертой — те линии, которые должны стягиваться в точки. Такая диаграмма дает одно из возможных полезных представлений множества точек, обладающего глобальной структурой S2.
Пример
Изображенный на рис. 37.4 треугольник с тремя прямыми углами представлен на нашей диаграмме на рис. 38.2.
Приведенная выше диаграмма и условия отождествления общих точек на ее границах служат удобным представлением S2. Действительно, она расположена в плоскости, и поэтому на ней можно производить графические построения. Любая книга по географии содержит массу примеров такого представления. Существуют и другие представления, которые имеют меньше странностей на краях, но в то же время все еще остаются в плоскости. Они играют роль промежуточных шагов при восстановлении S2, исходя из приведенной выше диаграммы.
Один из возможных первых шагов, модифицирующих приведенное выше представление, состоит в стягивании линии в = = 0, которая на самом деле задает единственную точку на S2, в фактическую точку. В результате такого стягивания мы получаем сектор в форме кусочка торта, изображенный на рис. 38.3.
S
"Г—— I I I » I В 2T I I I А '
о N IT h^ 2 * 2тт
Рис. 38.2
Наш истинно прямоугольный треугольник, изображенный на рис. 37.4.
Модель двумерного диска
[Здесь не будут приводиться эти преобразования, так как они нам не нужны. Вы должны уметь записывать их сами.]
Рис. 38.3
Рис. 38.4 Гл. IV. Космология
Пример
На рис. 38.4 в рассматриваемом представлении изображен наш истинно прямоугольный треугольник. Здесь он выглядит так, как и должен выглядеть треугольник. В соответствии с этим, однако, диаграмма не отображает структуры окрестности точки N.
Второй разумный шаг состоит в том, чтобы развернуть этот клин веером и затем склеить шов, как показано на рис. 38.5. В этом случае мы получаем представление, адекватное оригиналу всюду, за исключением точки S; последняя оказывается развернутой во внешний обод. Такая диаграмма представляет собой полярную проекцию, столь популярную у военных стратегов. Это полезное представление, имеющее форму двумерного диска, оказывается наилучшим из всего того, что мы можем сделать, оставаясь в рамках двух измерений. Аналогичное представление S3 будет наиболее полезным для нас представлением 3-сферы.
Рис. 38.6 демонстрирует заключительную стадию упомянутого выше восстановления S2. Вытянув диск в третье измерение, мы можем превратить линию, соответствующую Южному полюсу, в одну точку, одновременно сформировав вокруг нее надлежащую- окрестность.
Таким образом, не существует принципиальных затруднений в графическом изображении описанной выше заключительной стадии восстановления S2, поскольку мы наделены интуитивной способностью к зрительному восприятию объектов в
Рис. 38.5
Рис. 38.6 38. Глобальная структура 3-сферы
319
трех измерениях. Однако для осуществления указанной стадии
