Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
в случае S3 требуется уже выход в четвертое измерение. Чтобы Четвертое измерение такой выход представить себе наглядным образом, необходимо прибегнуть к хитрости. Используем цвет для представления дополнительного измерения. Например, 2-поверхность, находящуюся в трех измерениях, можно представить в виде раскрашенной части плоскости. Расположение каждой точки в плоскости отвечает двум координатам, а цвет отвечает третьей координате. В качестве другой дополнительной переменной может выступать текстура. Ее труднее описывать словами, но легче изобразить.
Используя цвет для представления третьего измерения, мы можем описать заключительную стадию восстановления S2, не выходя за пределы плоскости. Начнем с модели S2, имеющей форму двумерного диска. «Деформируем» его в третье измерение, раскрасив его синим цветом вблизи кромки с постепенным добавлением красного цвета по мере приближения к центру. В трех измерениях такая раскраска превращает диск в чашу. Теперь мы можем сжимать «окружность» Южного полюса, уменьшая размеры до тех пор, пока она не превратится в истинную точку, расположенную, если мы того захотим, прямо на вершине Северного полюса. Таким образом мы получим двумерный диск, каждая точка которого, за исключением кромки, раскрашена двумя цветами, указывающими на принадлежность к той или другой полусфере.
Воспользуемся теперь приведенными соображениями для 3-сфера реализации соответствующих представлений S3. Как и в случае сферических полярных координат, перейдем к параметрическому представлению, воспользовавшись следующими соотношениями:
W = cos X,
Z = sin X COS в,
X = sin X sin в COS ф,
(38.8)
у = sin X sin в sin ф.
Как и выше, такая параметризация обеспечивает выполнение нашего определения:
X2+ у2+ Z2+ W2= 1.
(38.9)
Каковы пределы изменения координат? Каждое значение w соответствует единственному значению х в области
О < X -
(38.10)320
Гл. IV. Космология
Фиксируя х» мы получаем множество точек, удовлетворяющих соотношению
X2+ у2+ Z2 = I
W'
(38.11)
которое показывает, что при w Ф 1 это множество представляет собой 2-сферу со сферическими полярными координатами (0, ф). Таким образом, для 0 и ф должны иметь место обычные пределы изменения координат и аналогичные описанным выше отождествления. На рис. 38.7 изображена такая диаграмма и указаны правила отождествления.
Верхняя грань - одна точка Южный полюс
Отождествить с противоположной гранью поточечно
Каждая линия на передней грани-одна точка
Рис. 38.7
3-сфера в координатах (х, в, ф).
"Модель трехмерного шара
[Отметим, что Северным полюсом (с заглавной буквы) мы будем называть только истинный, отвечающий условию w= 1.]
Опять мы можем получить более удобное представление, если начнем восстанавливать S3, исходя из диаграммы на рис. 38.7. Посмотрим с этой целью на грань 0=0. Для каждого х эта грань соответствует не линии, а точке. Стянем эти линии так, чтобы они действительно стали точками. Указанные точки представляют собой северные полюсы «малых» 2-сфер, на которые можно разделить 3-сферу S3. Таким образом мы получим показанный на рис. 38.8 клин, напоминающий кусок сыра. Следуя двумерной аналогии, далее мы развернем его в полный круг сыра (рис. 38.9). Верхняя и нижняя поверхности этого круга отвечают единственной точке, а первая искривленная грань представляет собой одномерное семейство южных полюсов, в = ж.
Можно повторить эту процедуру. Стянем нижнюю грань — Северный полюс — в одну точку. Мы получим шаровой сектор, изображенный на рис. 38.10. Наконец, постепенно увеличивая раствор телесного угла при вершине, развернем этот шаровой сектор и сомкнем линию южных полюсов в истинную38. Глобальная структура 3-сферы
321
Южный rramoc-» одна точна
Юзютй полюс
ґ
Северный полюс
/
Линии - малые южные полюси
Рис. 38.8
Стянем линии, изображающие «малые» северные полюсы, в истинные точки.
Сомкнем все международные линии смены дат 2-сфер.
Рис. 38.9
линию, состоящую из точек. Полученное таким образом представление S3 адекватно оригиналу в окрестности Северного полюса. Назовем это представление моделью трехмерного шара для S3; оно изображено на рис. 38.11. В качестве радиальной координаты внутри такого шара выступает х» а угловые координаты (0, ф) представляют собой обычные угловые координаты на сферах. В дальнейшем мы будем неоднократно обращаться к такому представлению S3.
Для окончательного завершения процесса восстановления S3 В четыре измерения вытянем Южный полюс в четвертое измерение. Окрасим трехмерный шар в синий цвет на поверхности с постепенным добавлением красного цвета по мере приближения к его центру.
Южный полюс
Сожмем Северный полюс в одну точку.
Рис. 38.10
Каждая из онрул на поверхности ига сектора - одни то
Северн__
Полюс
21-649322 Гл. IV. Космология
ЮМсный полюс-полная поверхность шара
Рис. 38.11
Стянем все линии малых южных полюсов в точки.
Втянем затем Южный полюс внутрь и стянем его в линию, расположенную на вершине Северного полюса. Каждая точка трехмерного шара представляет теперь две точки S3. В последующих обсуждениях и расчетах вы будете неоднократно иметь возможность позабавиться с S3. Используя полученное представление, можно убедиться в том, что S3 имеет много общих свойств с S2. У нее конечный объем, но нет границы. На S3 в общем случае не существует подобных геометрических фигур. Так, например, тетраэдры, размеры сторон которых отличаются в два раза, будут иметь различные двугранные углы. Плоскости, проходящие через начало координат фиктивного 4-пространства, образуют сечения, представляющие собой 2-сферы. В S3 эти 2-сферы являются аналогами плоскостей точно так же, как большие окружности на S2 аналогичны прямым линиям.