Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ТОЧЕЧНЫХ
МАСС *
Задачи релятивистской механики. В главе IV мы возвели только фундамент специальной теории относительности. Однако до сих пор мы рассматривали только равномерное прямолинейное движение. Употребляемые нами для определения значений координат часы и масштабы двигались без ускорений. Мы заменили уравнения преобразования Галилея (4.14), связывающие две инерциальные системы, уравнениями Лорентца (4.13). Так же как и уравнения Галилея, эти последние являются линейными уравнениями преобразования, т. е. новые значения координат (пространства и времени) являются линейными функциями старых. Поэтому неускоренное движение в некоторой инерциальной системе остается неускоренным и после преобразований Лорентца.
Закон инерции (2. 1) инвариантен относительно преобразований Лорентца.
В оставшихся главах 1 части рассмотрим ускоренное движение, другими словами, построим релятивистскую механику. Это более сложно, чем построение механики классической, так как возникают двоякие затруднения. Во-первых, уравнения классической механики ковариантны относительно преобразований Галилея, но не по отношению к преобразованиям Лорентца. Поэтому мы должны развить лорентц-инвариантный формализм так, чтобы наши положения не зависели от выбора системы координат.
Вторая трудность имеет еще более глубокий смысл. В классической механике сила, действующая на тело в некоторый момент времени, определяется положением всех взаимодействующих тел в тот же момент времени. Закон „даль-нодействующих" сил может быть сформулирован только в том случае, если имеет смысл выражение ,положение всех взаимодействующих тел в тот же момент времени", т. е. если понятие „тот же момент" не зависит от выбора системы отсчета. Как мы знаем, такое условие не совместимо с теорией относительности.
Поэтому невозможно автоматически преобразовать каждый классический закон сил в лорентц-ковариантную форму. Мы можем иметь дело только с такими теориями, из которых может быть исключено понятие действия на расстоянии. Такая возможность существует в теории столкновений, поэтому в этой главе мы ограничимся в основном рассмотрением сил, возникающих при соударениях тел.
„Дальнодействие" можно исключить также при рассмотрении движения электрических зарядов в электромагнитном поле. Оказалось, что закон Кулона, основывающийся на понятии действия на расстоянии, справедлив только в электростатике. В общем случае сила, действующая на заряженную частицу, определяется не только положением окружающих зарядов. Однако релятивистское выражение для электромагнитных пондеромоторных сил может быть дано лишь после того, как мы познакомимся с законами преобразования электромагнитных полей. Поэтому мы начнем с рассмотрения теории столкновений.
Теория столкновений фактически является идеализацией, применяемой в обычной механике системы точечных масс в том случае, когда радиус действия сил мал в сравнении с размерами механической системы.
Предполагается, что взаимодействие имеет место только в продолжение того промежутка времени, когда расстояния между двумя телами или точечными масеами бесконечно малы. До и после этого бесконечно малого интервала времени тела движутся неускоренно. В течение короткого времени взаимодействия справедливы законы сохранения энергии и импульса. Если при ударе сохраняется кинетическая энергия, мы говорим об упругом ударе; если же часть или вся кинетическая энергия переходит в другие формы энергии (тепло и так далее), говорят о не у пругом ударе. Естественно, что механизм упругого удара более прост.
Законы сохранения. В классической механике существуют четыре закона сохранения: три для трех компонент импульса изолированной системы и один для ее энергии. При преобразовании пространственных координат три закона сохранения импульса преобразуются, как компоненты трехмерного вектора, в то время как закон сохранения энергии является инвариантом.
По отношению к преобразованиям Галилея законы сохранения импульса инвариантны, в то время как закон сохранения энергии оказывается справедливым в новой системе только в силу соблюдения законов сохранения энергии а импульса в старой системе. Классические законы сохранения не ковариантны относительно преобразований Лорентца, содержащих время. Поэтому их нужно сделать лорентц-ковариантными, причем последние должны переходить в классические законы при малых скоростях.
Релятивистские законы преобразования должны иметь такие же трансформационные свойства относительно преобразования пространственных координат, как и классические законы; иначе говоря, это опять должны быть векторный закон (с тремя компонентами) в случае импульса и скалярный закон в случае энергии. Этим в значительной мере определяется форма релятивистских законов.
Состояние движения точечной массы (т. е. так называемой материальной точки) полностью определяется ее массой т и скоростью и. Если „релятивистский импульс* точечной массы при преобразовании пространственных координат преобразуется как вектор, и если этот импульс зависит только от состояния движения массы, то вектор импульса должен быть параллелен скорости и' [см. (5.121)], так как скорость является единственным вектором, имеющимся в нашем распоряжении, иначе говоря, количество движения точечной массы должно записываться в виде
