Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 27

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 91 >> Следующая


Произведем параллельный перенос двух векторов а, и Ь1 на бесконечно малое расстояние SS'. Изменение их скалярного произведения а(Ь' будет равно

8 (a.b1) = CiiW + Vbai = atbk ( Г»„ — Fw) SS'. (5.83)

При параллельном переносе двух векторов л х скалярное произведение остается по-

I

стоянным тогда и только тогда, когда Iw

и

соответственно равны Tikl.

і и

Фактически предположение о равенстве Fw и Yikl основывается не только на том обстоятельстве, что в декартовых координатах скалярное произведение двух постоянных векторов постоянно, но и на более общих соображениях, не связанных с декартовыми системами координат.

Обобщая закон или определение „параллельного" переноса (5.78), (5.79) на тензоры, будем производить „параллельное" смещение согласно следующему правилу:

*«:=(h+hstir'-hs*'¦*¦) (5.84)

Это правило основывается на том предположении, что «параллельный перенос" произведения производится по тому же закону, и что дифференцирование произведения:

b(abc) = ab Sf+ ас Sb+ bc Sa. (5.85) При параллельном переносе тензора Кронекера, согласно (5.84), получим:

г(г*)= (lT^r-Vi) ^= (?-? г?. (5.86)

Далее, из (5.86) и (5.85) имеем для „параллельного переноса" произведения а'й*:

8 (а'8*) = 8*8а' а'Ь (Sf) = Ьак + а1 і (8*).

С другой стороны, это произведение равно ак. Отсюда: 8а* = 8а* а'Ь (8*)

и в силу этого 8 (S*) должно обращаться в нуль. Соответственно имеем:

1?, = ?. (5.87)

В дальнейшем различительные индексы I и II будем опускать.

Как уже отмечалось, симметричны в своих нижних индексах, если возможно ввести такую систему координат, в которой равны нулю, хотя бы в локальной области. С этого момента следует все время иметь в виду, что в дальнейшем будут рассматриваться только симметричные Г*. При этом Г* остаются еще в значительной степени произвольными. Однако они определятся однозначно, если их связать с метрическим тензором gik с помощью следующего условия: результат параллельного смещения вектора а должен быть одним и тем же как при применении закона (5.78) к его контравариантным координатам, так и при применении закона (5.79) к его ковариантным координатам. В этих двух представлениях а' и ak соответственно имеют в точке (Si-I-SSi) значения (а'-\-Ьа') и (ak-\-bak), где Sa' и Sa4 даются с помощью (5.78) и (5.79). Условие того, что эти два вектора являются представлениями одного и того же вектора (a -j- 5а) в точке OS*), выражается формулой:

в* + = (? + «а») («' + SflO- (5-88)

где

«в»

С точностью до членов высшего порядка по отношению к дифференциалам формула (5.88) должна быть справедлива для произвольных а' и Раскрывая скобки в правой части (5.88), получим:

8ak = a'Sik,i W + gJa'. Подставляя Sak и Sa1 из (5.78) и (5.79), найдем Y1i^V=a'gikjl W-gikT<t aW

или

№ + SrJil - Sik,,) = 0, (5.88а)

где Hs и SS' произвольны; поэтому выражение в скобках должно равняться нулю.

Далее используем условия симметрии и выпишем обращающееся в нуль выражение, три раза переставляяя индексы:

r'sSkr + 4s?ir — Sik,s = 0, + — Sittk = Of ^+YrsiSrk-Sksti=о.

Первое уравнение вычитаем из суммы двух других. После приведения подобных членов получим уравнение:

Srfik = І teu,k + Sks,i — Stkts)- (5-89)

Отсюда умножением на Ssl найдем окончательное выражение для T1ik:

Ytik = YSls (Sistk + Sksti - SikJ- (5.90) Это выражение обычно называют символом Кристоффеля второго рода и обозначают знаком

їм =4***?,*+?.<5'90а)

Левая часть уравнения (5.89) называется символом Кристоффеля первого рода. Он обозначается знаком [i/t, s),

[Ik, s] = ^igistk + gks,, - gtkJ. (5.89а)

В декартовых координатах оба символа Кристоффеля обращаются в нуль.

Понятие параллельного переноса является независимым от существования метрического тензора. Пространство, в котором определен закон параллельного переноса, назовем пространством аффинной связности, а — коэфициентами аффинной связности (affile connection). Когда задана метрика, ковариантные и контравари-антные векторы эквивалентны; при этом T1lk принимает значение так что параллельный перенос вектора не зависит от выбора одного из двух возможных представлений..

Вернемся теперь к нашей первоначальной задаче — к образованию новых тензоров при помощи дифференцирования. Рассмотрим „тензорное поле", т. е. тензор, компоненты которого являются функциями координат. Возьмем тензор в точке (Si) и сместим его параллельно самому себе в точку (S1-!-^). Вычтем из величины тензорного поля в точке (Sf -[" тензор, параллельно перенесенный в эту точку; эта разность также будет тензором. В случае смешанного тензора второго ранга его значение в точке (SjSSi) будет

as»,

і- I r,s '

а для значения параллельно перенесенного тензора найдем:

Разность этих двух выражений равна

('А,-fU'?+<*,} (5.91) То, что это выражение является тензором, видно нз метода «го получения. Так как SSj—произвольный вектор, выражение в скобках также является тензором. Этот тензор называется ковариантной производной от tb по Ковари-антная производная идентична с обычной производной, если {'*} обращается в нуль, как это имеет место, например, в декартовых координатах. Приведем два из часто встречающихся обозначений ковариантной производной уи tt*. s. Мы будем употреблять последнее.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed