Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Произведем параллельный перенос двух векторов а, и Ь1 на бесконечно малое расстояние SS'. Изменение их скалярного произведения а(Ь' будет равно
8 (a.b1) = CiiW + Vbai = atbk ( Г»„ — Fw) SS'. (5.83)
При параллельном переносе двух векторов л х скалярное произведение остается по-
I
стоянным тогда и только тогда, когда Iw
и
соответственно равны Tikl.
і и
Фактически предположение о равенстве Fw и Yikl основывается не только на том обстоятельстве, что в декартовых координатах скалярное произведение двух постоянных векторов постоянно, но и на более общих соображениях, не связанных с декартовыми системами координат.
Обобщая закон или определение „параллельного" переноса (5.78), (5.79) на тензоры, будем производить „параллельное" смещение согласно следующему правилу:
*«:=(h+hstir'-hs*'¦*¦) (5.84)
Это правило основывается на том предположении, что «параллельный перенос" произведения производится по тому же закону, и что дифференцирование произведения:
b(abc) = ab Sf+ ас Sb+ bc Sa. (5.85)При параллельном переносе тензора Кронекера, согласно (5.84), получим:
г(г*)= (lT^r-Vi) ^= (?-? г?. (5.86)
Далее, из (5.86) и (5.85) имеем для „параллельного переноса" произведения а'й*:
8 (а'8*) = 8*8а' а'Ь (Sf) = Ьак + а1 і (8*).
С другой стороны, это произведение равно ак. Отсюда: 8а* = 8а* а'Ь (8*)
и в силу этого 8 (S*) должно обращаться в нуль. Соответственно имеем:
1?, = ?. (5.87)
В дальнейшем различительные индексы I и II будем опускать.
Как уже отмечалось, симметричны в своих нижних индексах, если возможно ввести такую систему координат, в которой равны нулю, хотя бы в локальной области. С этого момента следует все время иметь в виду, что в дальнейшем будут рассматриваться только симметричные Г*. При этом Г* остаются еще в значительной степени произвольными. Однако они определятся однозначно, если их связать с метрическим тензором gik с помощью следующего условия: результат параллельного смещения вектора а должен быть одним и тем же как при применении закона (5.78) к его контравариантным координатам, так и при применении закона (5.79) к его ковариантным координатам. В этих двух представлениях а' и ak соответственно имеют в точке (Si-I-SSi) значения (а'-\-Ьа') и (ak-\-bak), где Sa' и Sa4 даются с помощью (5.78) и (5.79). Условие того, что этидва вектора являются представлениями одного и того же вектора (a -j- 5а) в точке OS*), выражается формулой:
в* + = (? + «а») («' + SflO- (5-88)
где
«в»
С точностью до членов высшего порядка по отношению к дифференциалам формула (5.88) должна быть справедлива для произвольных а' и Раскрывая скобки в правой части (5.88), получим:
8ak = a'Sik,i W + gJa'. Подставляя Sak и Sa1 из (5.78) и (5.79), найдем Y1i^V=a'gikjl W-gikT<t aW
или
№ + SrJil - Sik,,) = 0, (5.88а)
где Hs и SS' произвольны; поэтому выражение в скобках должно равняться нулю.
Далее используем условия симметрии и выпишем обращающееся в нуль выражение, три раза переставляяя индексы:
r'sSkr + 4s?ir — Sik,s = 0, + — Sittk = Of ^+YrsiSrk-Sksti=о.
Первое уравнение вычитаем из суммы двух других. После приведения подобных членов получим уравнение:
Srfik = І teu,k + Sks,i — Stkts)- (5-89)
Отсюда умножением на Ssl найдем окончательное выражение для T1ik:
Ytik = YSls (Sistk + Sksti - SikJ- (5.90)Это выражение обычно называют символом Кристоффеля второго рода и обозначают знаком
їм =4***?,*+?.<5'90а)
Левая часть уравнения (5.89) называется символом Кристоффеля первого рода. Он обозначается знаком [i/t, s),
[Ik, s] = ^igistk + gks,, - gtkJ. (5.89а)
В декартовых координатах оба символа Кристоффеля обращаются в нуль.
Понятие параллельного переноса является независимым от существования метрического тензора. Пространство, в котором определен закон параллельного переноса, назовем пространством аффинной связности, а — коэфициентами аффинной связности (affile connection). Когда задана метрика, ковариантные и контравари-антные векторы эквивалентны; при этом T1lk принимает значение так что параллельный перенос вектора не зависит от выбора одного из двух возможных представлений..
Вернемся теперь к нашей первоначальной задаче — к образованию новых тензоров при помощи дифференцирования. Рассмотрим „тензорное поле", т. е. тензор, компоненты которого являются функциями координат. Возьмем тензор в точке (Si) и сместим его параллельно самому себе в точку (S1-!-^). Вычтем из величины тензорного поля в точке (Sf -[" тензор, параллельно перенесенный в эту точку; эта разность также будет тензором. В случае смешанного тензора второго ранга его значение в точке (SjSSi) будет
as»,
і- I r,s '
а для значения параллельно перенесенного тензора найдем:
Разность этих двух выражений равна
('А,-fU'?+<*,} (5.91)То, что это выражение является тензором, видно нз метода «го получения. Так как SSj—произвольный вектор, выражение в скобках также является тензором. Этот тензор называется ковариантной производной от tb по Ковари-антная производная идентична с обычной производной, если {'*} обращается в нуль, как это имеет место, например, в декартовых координатах. Приведем два из часто встречающихся обозначений ковариантной производной уи tt*. s. Мы будем употреблять последнее.