Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 28

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 91 >> Следующая


Ковариантные производные произвольного тензора получаются прибавлением к обычным производным добавочных членов. Каждому контравариантному индексу соответствует добавочный член вида

'....U=-"+ил

а к ковариантному индексу член вида

t...k...\s= • • • {J^} Ч" • • • •

Это определение удовлетворяет правилу дифференциро-Бания произведения

(ДВ...);.,= Д +ЛЯ .. .,

независимо от того, будут ли некоторые из индексов у А, В, ... немыми.

Ковариантные производные метрического тензора равны нулю, так как равно нулю выражение в скобках в (5.88а), В силу того, что ковариантное дифференцирование согласуется с законом дифференцирования произведения, можно поднимать и опускать индексы под знаком дифференцирования:

<4-,s = gika\s и т. д. (5.92)

Геодезические линии. Символы Кристоффеля связаны не только с ковариантным дифференцированием или с параллельным переносом. Они также тесно связаны с задачами, непосредственно относящимися к метрике пространства, на- пример с задачей нахождения дифференциальных уравнений „прямых" линий, т. е. кратчайших линий в пространстве обобщенных координат. В эвклидовом пространстве кратчайшей линией, соединяющей две точки, является прямая. В общем случае римановых пространств линии, обладающие свойствами прямой, могут и не существовать; однако, вообще говоря, можно однозначно определить линию, являющуюся кратчайшей между двумя точками. Например, на поверхности сферы этими линиями являются большие круги. Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Длина произвольной линии, соединяющей две точки P1 и P2, равна

,„ = ?*= J Ki^W = Jl/ ft* §ap, (5.93)

Pi Pi P1

где р — произвольный параметр.

Чтобы найти минимум выражения S12 при фиксированных пределах интегрирования, произведем варьирование согласно уравнениям Эйлера-Лаграижа: в в

a J і (л, X) J E Щг - тх ШЬу*ах' (5-94)

А А " L *

Экстремали при этом определяются уравнениями

В нашем случае лагранжианом является подинтегральная функция в последнем выражении уравнения (5.93), где роль переменных ух играют координаты Производные

^jj- и ^7 даются выражениями (^V обозначает здесь : dL__dL_ _ 1 gikJ'F _ 1 „ f&'dP

dglk^' 2 у^ё^7 ~~ 2 ds '

dL _ gul"__„'OP.

dWy as' Далее

dp \ dV') ds Отсюда имеем:

^s=? 'S

ZtUkW + Єї?"- SnV

iPp ds*



л

IdsJ

Выражение в скобках симметризуем по индексам ink, так как они умножаются на выражения, симметричные относительно этих индексов:

= ^iUk + Skl,І - Si,J W +

dtp

(5.97)

Л

+ Sil^-SiA"^ ^dp.

\ ds)

В скобках стоит то же самое выражение, что и в уравнении (5.89а). Дифференциальные уравнения геодезических линий, таким образом, получаем в виде

iPp

[ik, t]W+SiA1"-Sa^-^T=O1

\ds)

или после умножения на g

dtp

[ds)

(5.98) Если за параметр выбрать длину дуги, последний член исчезает, и мы получаем

аЧ1

dsi^r Mki ds ds '

(5.99)

В декартовой системе координат второй член тождественно равен нулю, и уравнение (5.99) в этом случае выражает просто тот факт, что 5' является линейной функцией от S.

Мир Минковского и преобразования Лорентца. Вернемся теперь к нашему исходному пункту: к теории относительности в трактовке Минковского. По представлениям Минковского, обычное трехмерное пространство и время образуют четырехмерный континуум, ,мир" с инвариантной .длиной" или „интервалом", определением которых служит формула (5.1). „Мировая точка" — это обычная точка, рассматриваемая в определенный момент времени; ее четыре координаты X, у, г и t в дальнейшем часто будут обозначаться через л;1, Xі, л;8 и л;4. Вводя „метрический тензор"

с компонентами



-jr. о.

о,-Л

C2'

0, 0,

О, О,

о, о о, о,

о, +1

(5.100)

мы сможем записать (5.1) в виде 1*2= Tl^bx-

(5.101)

Преобразования Лорентца — это такие линейные преобразования координат, которые переводят метрический тензор Tjlliv в самого себя. Поэтому инерциальные системы специальной теории относительности аналогичны декартовым системам координат обычной трехмерной эвклидовой геометрии, а преобразования Лорентца соответствуют обычным трех- мерным ортогональным преобразованиям. Коэфициенты этих преобразований подчиняются условиям типа (5.10а).

При произвольном линейном преобразовании (не обязательно преобразовании Лорентца) уравнения преобразования имеют вид:

**» = + (5.102)

разности координат при этом преобразуются, как контра-вариантныз векторы:

Дх*» = ^Ax1. (5.103)

Для того чтобы преобразование было лорентцовым, необходимо соблюдение следующих условий при произвольных Длт':

^Ах^Юх*" = TilMbx1- (5-104)

Подставляя Дл;*^ из (5.103), получим

VYi1 VM^Xx = (5.105)

и в силу произвольности Axi

VYrYJI = V (5.106)

Таким условиям должны удовлетворять коэфициенты преобразований Лорентца, что соответствует условиям (5.10а) для ортогональных преобразований.

Разница между четырехмерным эвклидовым пространством и миром Минковского заключается в том, что в последнем инвариант т*2 не является положительно определенной формой. По этой причине не существует вещественных преобразований координат, переводящих форму (5.101) в форму (5.26). Поэтому нам придется делать различие между ковариантными и контравариантными индексами.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed