Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
divE = 4TTJ, (7.1)
rot E + 7^ = 0, (7.2)
div H = O1 (7.3)
^Н-тЗ = ?'. <7-4>
где E — напряженность электрического поля, H — напряженность магнитного поля, а — плотность заряда,
I — плотность тока. В пустоте плотности заряда и тока равны нулю.
Из уравнений (7.2) и (7.3) можно видеть, что напряженности поля могут быть выражены через производные скаляра ^ и вектора А следующим образом:
H = rotA, (7.5)
E = -grad<p-?-. (7.6)
Дифференцируя уравнение (7.1) по времени и образуя дивергенцию уравнения (7.4), получим закон сохранения плотностей заряда и тока
div, + oH°- (7-7)
Предварительные замечания о трансформационных свойствах. По отношению к пространственным ортогональным преобразованиям величины tp, А, Е, Н, о и I преобразуются независимо друг от друга. Но не все они являются векторами одного и того же типа. В главе V было показано, что в трехмерном векторном исчислении существуют два типа векторов: «полярные» и «аксиальные». По отношению к зеркальному отражению системы координат они ведут себя по-разному: «аксиальный вектор» при этом меняет свое направление на обратное. Ротор «полярного вектора» является аксиальным вектором, и наоборот.
В линейном уравнении все члены должны, конечно, преобразовываться одинаковым образом; в противном случае уравнение не будет ковариантно относительно отражений. Из уравнений (7.2) и (7.4) видно, что E и H не могут быть векторами одного типа.
Мы привыкли считать знак заряда не зависящим от ориентировки координатной системы. Напряженность электрического поля представляет собой силу, действующую на единичный заряд, поэтому ее направление не должно изменяться при отражении системы координат. Таким образом E является полярным вектором. Отсюда следует, что H — аксиальный вектор, а I и А — полярные векторы.
Мы видели, что в трех измерениях «аксиальные векторы» эквивалентны антисимметричным тензорам второго ранга. В силу этого они могут входить вместе с «полярными» величинами в линейные ковариантные уравнения. С точки зрения ковариантности часто бывает удобно выражать эту эквивалентность явно и представлять H в виде антисимметричного тензора с компонентами
Запишем уравнения Максвелла в векторно-тензорной форме:
(7.8)
-S,Г Г,S I с dt
Hrs,t + Hs:,r + Htr,S = °>
(7.1a) (7.2a) (7.3a) (7.4a)
H — I7t^1'
rs,s с dt C dt ¦
H1 Для уравнений (7.5) и (7.6) таким же образом получим
(7.5а) (7.6а)
Наконец, вместо уравнения (7.7) имеем
(7.7а)
Ковариантный характер этих уравнений по отношению ко всем пространственным ортогональным преобразованиям координат (включая отражения) очевиден. Если бы мы представили H в виде псевдовектора, то ковариантность была бы гораздо менее очевидной, как это видно, например, из уравнения (7.4), которое в этом случае имело бы вид
Заметим, что только одно из уравнений (7.3а), в котором все три индекса различны, имеет нетривиальный смысл, остальные же удовлетворяются тождественно.
При переходе к новой, движущейся системе отсчета нельзя ожидать, что величины Е, H и т. д. будут преобразовываться независимо друг от друга. Рассмотрим, например, электростатическое поле, в котором заряды покоятся по отношению к некоторой системе отсчета. В новой системе отсчета заряды будут находиться в движении, поэтому в ией будут наблюдаться токи, которых в первоначальной системе не было. Токи в свою очередь индуцируют магнитные поля, которых опять-таки не было в исходной системе. Наконец, в новой системе отсчета, в отличие от первоначальной, вектор А, соответствующий магнитному полю, не будет равен нулю. Этот пример показывает, что по отношению к преобразованиям Лорентца скалярный и векторный потенциалы преобразуются как компоненты одной и той же величины; то же самое справедливо для напря-женностей электрических и магнитных полей и плотностей
~ 1 дЕя 4я,
Фм-71=T1' и т- д- зарядов и токов. Поэтому нужно попытаться описать, например, напряженности электрического и магнитного полей одним мировым тензором, который при чисто пространственном преобразовании координат распадался бы на два трехмерных вектора.
Представление четырехмерных тензоров в трех плюс одном измерениях. В предыдущей главе мы видели, что различные трехмерные величины часто являются компонентами некоторой четырехмерной величины. Например, «релятивистская масса», представляющая собой скаляр относительно ортогональных пространственных преобразований, и «релятивистский импульс», являющийся пространственным вектором, рассматриваемые совместно, представляют собой компоненты одного мирового вектора — вектора энергии-импульса.
И обратно, рассматривая лишь группу одних пространственных преобразований вместо группы общих преобразований Лорентца, мировой вектор или тензор можно разложить на несколько частей, преобразующихся независимо друг от друга. В случае чисто пространственных преобразований четырехрядная матрица коэфициентов преобразования, {f%\, примет вид:
где Cii — коэфициенты ортогонального преобразования. Контравариантный мировой вектор Vі преобразуется следующим образом:
