Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим производную вектора. Производная связывает значение вектора в одной точке с его значением в другой бесконечно близкой к ней точке. При преобразовании координат векторы в обеих точках имеют различные коэ-фициенты преобразования, так как последние являются функциями координат. Поэтому производные коэфициентов преобразования входят в закон преобразования производных вектора.
Однако существует способ получения новых тензоров в результате дифференцирования. Этот способ основан на аналогии с дифференцированием в декартовых координатах. Там мы получали производные вектора или тензора следующим образом: сначала вектор переносился в „соседнюю" точку без изменения величины своих компонент, т. е. параллельно самому себе. (Пока мы пользуемся декартовой системой координат, это понятие имеет инвариантный смысл, так как коэфициенты преобразования одинаковы в обеих точках.) Затем этот параллельно перенесенный вектор сравнивается с вектором (как функцией координат) в этой же точке. Их разность представляется как Ai s Hxs. Если бы было возможно в соседней точке ввести понятия „тот же вектор" или „параллельный вектор", разность между параллельно перенесенным вектором
]) Тензорный анализ в обобщенных координатах понадобится нам в дальнейшем для понимания общей теории относительности. Для изучения специальной теории относительности его знание не является необходимым. Поэтому читатели, не интересующиеся общей теорией относительности, могут пропустить этот и следующий разделы. и вектором поля в этой точке преобразовывалась бы как вектор в этой же точке.
Определение параллельного переноса действительно можно ввести сравнительно простым образом. При этом величина смещенного вектора зависит как от исходного вектора, так и от направления переноса. Рассмотрим сперва эвклидово пространство, в котором можно ввести декартову систему координат. В этой системе закон параллельного переноса имеет вид
ahkbxk = 0, (5.76)
где Sxk представляет собой бесконечно малое смещение.
Введем теперь произвольное преобразование координат
(5.46). Компоненты вектора в новой системе координат отметим штрихами. Мы имеем:
'' dxt 1V
дх
д dir да,
¦ dl' dxi W , дхк dx, dxt ar-
Так как Sxk преобразуется согласно (5.48), получим JdV да, № dxt Л w
да'г s
Величины 35 являются приращениями а'г в результате смещения и могут быть обозначены чарез Sar. Умножая правую часть уравнения (5.76а) на , получим оконча-
/ db dx, ir\
тельно ^так как ^ =Srt) :
(»-TT, Если нельзя ввести декартову систему координат, мы, сохраняя линейную форму последнего уравнения, предположим, что при параллельном переносе бесконечно малые изменения компонент вектора являются билинейной функцией компонент вектора и компонент бесконечно малого смещения:
= (5 78)
2*, = + ?^'. (5.79)
і и
Коэфициенты Г'Л( и этих новых предполагаемых законов остаются пока совершенно неопределенными. Однако можно найти их законы преобразования. Sa' является разностью векторов в двух точках с координатами S' и При
преобразовании координат новые Sa'* получаются следующим образом:
> 'k fdi'k„A (W* Л д /Ж* Л
= + MV+^. (5.80)
Уже указывалось, что ias не преобразуется как вектор, что явилось источником наших затруднений. Подставим (5.80) в левую часть уравнения
^ гь 1
ой'* = —рл а'т№п
тп
и заменим а'т и Ъ\'п их выражениями из (5.51) и (5.50). Тогда получим:
J*LaW+ Г*
^dk1 1 тп dis c^
Подставляя далее Sas из (5.78), найдем
/ дЧ'к дїк L \ t>* ' д-'т SVn >и Так как и в' и произвольны, коэфициеиты при них должны быть равны:
d-s дУ тп ?tr s: ді1'
і
Закон преобразования для Tjf получается после умноже-dis дІ1 тя ыа зр- т'-
г'* — yr \ /к ru
lab — lSl d?S J •
Последний член справа может быть записан в несколько иной форме:
дУ ді1 дЧ,к _ _ df_ д і
ді'адї» tt'<>dis U;'* дії J ~г
, (ді1 \ _ д? д ^ , дЧ'
dS'0 дії діS \д?ь) fos -Г (Я'" ді">'
Первый член справа равен нулю, так как выражение в круглых скобках постоянно. (5.81), таким образом, дает:
г* Л. /s 82V
1 ab ^7 ft'* 1 rs ~Г fo'b) • lO-o-A*
Аналогичными рассуждениями из (5.79) получим закон и і преобразования для Г*4. Он таков же, как и для
і и "
Теперь можно наложить на Г*й и Г*4 условия, совместимые с их законами преобразования. Эти формулы преобразования содержат два члена. Один из них зависит от Г*4 в старой системе координат и имеет тот же вид, что и закон преобразования тензоров. Второй член не зависит от Г^ и симметричен в своих нижних индексах. Поэтому, если Г^ и равны нулю в одной системе координат, они все же будут отличны от нуля в другой системе. Однако симметрия Г*4 по отношению к нижним индексам ¦сохраняется во всех системах координат, если она существует хотя бы в одной из них. Это, в частности, справедливо, когда Tkb исчезает в одной из систем. Далее, і п
«ели Ykb и равны в одной системе, они остаются равными при произвольном преобразовании координат. Мы увидим, что геометрические соображения приводят нас только к таким системам Г*й, которые обладают обоими упомянутыми свойствами.
