Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Массу покоя электрона обозначим через т. После столкновения электрон будет двигаться под некоторым углом а к оси X, а у-квант другой частоты v движется после столкновения в другом направлении, определяемом углом ?. Введем такие координаты, так чтобы все траектории лежали в плоскости X, Y.
У
Фиг. 8. Эффект Комптона. До столкновения полная энергия E и полный импульс P задаются выражениями:
Е = тс2-\- Av1
P = *. с
После соударения энергия равна тс2
E =
+ Av,
(6.27)
(6.28)
а компоненты полного импульса в направлениях х и у будут
P1 = Acos? +
та
/'-I
cosa,
Av . а . та Р. =--sin В А--,.
' /'-S
sina.
(6.29)
Принимая во внимание законы сохранения, получим
ж*+Av = ™г + * у 1 -U2Ic2 1
Av,
ihu
Av Av - . — = —cos В + ¦ г CC f ' Yl-U2Ic2
Л Av . о і ти
O=--sm В ¦
с г
cosa,
Y1 — U2Ic2
sm а.
(6.30)
Нас интересует v как функция угла рассеяния Поэтому исключим из уравнений сначала а, а затем и. Для исключения а изолируем в уравнениях для импульсов члены, содержащие а, затем возведем эти уравнения в квадрат и сложим. В результате вместо двух последних уравнений (6.30) получим уравнение
?(v«-2wco»? + *)==-^. (6.31)
В первом уравнении (6.30) избавляемся от корня, изолируя член, его содержащий, и возводя в квадрат:
тЧ2 -f 2тh (v — v) -f- (v* — 2vv-f-v2)=-?^-,. (6.32)
Далее, вычитая (6.32) из (6.31), исключим и:
m (V — V) —J2 (1 — cos ?) vv"= 0. (6.33)
Для того чтобы получить обычно употребляющееся выражение, заменим 1 — cos ? на 2 sin2 и вместо частоты введем длину волны согласно формуле:
V = f. v = | . (6.34)
Окончательно получим
Наибольшее изменение длины волны имеет место, когда Y-квант рассеивается в обратном направлении. Оно равно в этом случае удвоенному значению так называемой комп-
тоновской длины волны — .
тс
Релятивистская аналитическая механика. Теперь можно перейти к рассмотрению основ релятивистской аналитической механики. При этом предполагается, что читатель хорошо знаком с основными положениями классической аналитической механики, в силу чего последующий обзор будет затрагивать только те вопросы, которые имеют непосредственное отношение к содержанию этой книги. Дифференциальные уравнения движения механической (классической) системы, подвергающейся действию консервативных сил, записываются в виде
(dL)=O, L=T-V, (6.36)
дх* dt \дх*)
где T — кинетическая, а V—потенциальная энергия. Записанные так уравнения движения ковариантны не только относительно ортогональных преобразований пространственных координат, но и относительно произвольных преобразований я координат, соответствующих я степеням свободы системы.
Это так называемые уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационной проблемы. Вариационная проблема — это проблема нахождения таких кривых, соединяющих две фиксированные точки, вдоль которых данный криволинейный интеграл принимает экстремальное значение. Рассмотрим (я -f- 1)-мерное пространство с координатами х* и t и криволинейный интеграл
Р,
/=^ Ldt, (6.37)
подинтегральная функция которого вдоль пути интегрирования зависит от координат Xs (и, возможно, t) и производных Варьируя при фиксированных конечных точках путь интегрирования на бесконечно малую величину, получим
"-1(?*"+^)"-
dxs
где je* обозначает . Отсюда видно, что вдоль путей
интегрирования, на которых величина / экстремальна, справедливы уравнения (6.36). Импульсы определяются уравнениями
Ps = Tl- (6-39)
ах*
С помощью этих соотношений п дифференциальных уравнений (6.36) второго порядка могут быть преобразованы в 2 п уравнений первого порядка. Для этого нужно решить п уравнений (6.39) относительно Xs и образовать так называемую функцию Гамильтона
H=-LJrpJc(6.40)
где Xs предполагаются замененными решениями уравнений (6.39). Уравнения движения принимают теперь ,каноническую" форму:
'х>=™-
Этот формализм в целом ковариантен относительно общих преобразований трех пространственных координат (в действительности, даже относительно более общих преобразований). Особенностью, представляющей для нас специфический интерес, является возможность введения вместо времени t другого параметра. Обозначим этот параметр через 0 и определим его уравнением
dt = Wdb' <6-42>
где JJ- предполагается заданным. Производные по t будем обозначать точками, а по Ь — штрихами. Тогда имеем:
/=\і*(х*, t, f)db,
/ ^ X ^ (6-43> Теперь уравнения Эйлера-Лагранжа можно выразить через новый лагранжиан от L*. Производными от ?* по его аргументам будут
дх* dL* dxs' В силу
dL*_,, dL dL*_.,dL
TZZ—1 > ft — dt '
дх*' _ dL dxs
dL* , -,dL
— = L— Xя-
dt'
dx*
= —H.
(6.44)
d9 dt
уравнения Эйлера-Лагранжа приводятся к виду:
дх* dt \дх*/ dL . dH
(6.45)
Отметим, что относительно
определение импульсов (6.39) инвариантно такого преобразования параметра. Однако, помимо импульсов, нужно рассматривать также компоненту, канонически сопряженную времени t. Она равна—Н. Обозначим эту новую компоненту через
