Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
иначе говоря, релятивистская кинетическая энергия равна E = тс* + E0, (6.17)
где E0 — постоянная интегрирования.
Лорентц-ковариантность новых законов сохранения.
Не пользуясь формализмом, развитым в предыдущей главе было бы трудно доказать лорентц-ковариантный характер выражений (6.15) и (6.17). Однако, используя этот формализм, доказать ковариантность указанных выражений весьма просто. Так, сравнивая (6.15) с (5.128), увидим, что компоненты релятивистского импульса а-той частицы представляют собой первые три компоненты контравариантного мирового вектора т U', четвертой компонентой которого
будет
т?У* = —/ ° (6.18)
Это выражение в с2 раз меньше релятивистской энергии. (6.17) без постоянного члена. Четыре уравнения
т п*
а а
const.
(6.19)
т
const
/
являются, таким образом, ковариантными. Первый член уравнения (6.17) называется полной (релятивистской) энергией частицы. В силу своих трансформационных свойств он должен рассматриваться как фундаментальное выражение для энергии. Так как это выражение не обращается в нуль при и —"О, то его часто разделяют на два выражения: тс2 и
Величина Wtc2 называется „энергией покоя" частицы, a T — ее „релятивистской кинетической энергией".
Связь между энергией и массой. Величину [х, выражающую зависимость импульса от массы, часто называют „релятивистской массой" частицы, а т соответственно „массой покоя". Релятивистская масса равна полной энергии, деленной на с2-, масса же покоя в с2 раз меньше энергии покоя. Таким образом, в теории относительности существует весьма тесная связь между массой и энергией, не имеющая аналога в классической физике.
Эта связь делается еще более явной при рассмотрении неупругих соударений. Из классической физики известно, что при неупругих соударениях закон сохранения импульса применим без изменений, в то время как кинетическая энергия частично преобразуется в другие формы энергии.
(6.20) Принимая во внимание преобразования Лорентца, мы найдем, что закон сохранения импульса выполняется только в том случае, если выполняется также закон сохранения энергии в форме (6.19); это означает, что если кинетическая энергия (6.20) механической системы уменьшается, должна увеличиваться ее энергия покоя, поэтому по крайней мере некоторые из входящих в систему масс покоя должны увеличиться. Таким образом, мы приходим к заключению, что все формы энергии свазаны с массой соотношением
AE = C2Lm. (6.21)
Установление эквивалентности энергии и массы является, по всей вероятности, важнейшим достижением релятивистской механики. Эта эквивалентность объясняет, например, дефект массы, наблюдающийся в атомных ядрах.
В классической физике существуют два отдельных закона сохранения: законы сохранения массы и энергии. В релятивистской механике имеется один общий закон сохранения полной энергии изолированной системы, причем массы покоя образующих систему точечных масс меняются при переходе кинетической энергии в другие формы энергии, и наоборот. Масса материального тела остается приблизительно постоянной, пока основная часть его энергии, энергия покоя, не участвует в подобных изменениях. Однако масса покоя меняется существенно, если энергии взаимодействия того же порядка величины, что и энергия покоя. Это имеет место во многих ядерных реакциях и особенно при рождении или аннигиляции электронно-позитронных пар.
T-T н
При малых значениях — релятивистская кинетическая
энергия (6.20) переходит в классическое выражение, что легко видеть из разложения в ряд
(6.20а) Четырехмерный вектор
р? — mUf
(6.22)
часто называют вектором энергии-импульса.
Эффект Комптона. Интересным приложением релятивистских законов сохранения является теория эффекта Комптона. Рассмотрим „столкновение" у-кванта и свободного электрона. При этом можно определить длину волны у-кванта и скорость электрона после соударения, не делая никаких предположений относительно природы сил взаимодействия.
Формулы (6.15) и (6.17) неприменимы для у-кванта, так как знаменатель 1--^ обращается в нуль при и,
равном с. Более того, не имеет смысла говорить о „массе покоя" фотона, так как не существует системы отсчета, в которой он покоился бы. Вместо (6.17) будем использовать квантово-механическую связь между частотой и энергией
E = Av, (6.23)
где А — постоянная Планка.
Компоненты импульса и энергия, деленная на с2, образуют контравариантный мировой вектор. С другой стороны,, частота v преобразуется так, что выражение
TkSxt (6.24)
является инвариантом (к — трехмерный единичный вектор, перпендикулярный к фронту волны). Следовательно, величины ^—у k, v^ являются компонентами ковариантного
мирового вектора, а величины (-J- ckv, v) в силу этого представляют контравариантные компоненты того же мирового вектора. Из уравнений преобразования, связывающих р E
с -у, следует тогда, что импульс у-кванта должен даваться выражением
Pt = Ay к,
(6.25)
л его величина равна
(6.26)
¦Сформулируем теперь условия, определяющие столкновение укванта с электроном. Предположим, что первоначально у-квант движется параллельно оси X, электрон покоится (фиг. 8).
