Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(л -}-1) уравнения, определяющие импульсы, могут быть опять решены относительно (я-f-l) величины Xs' и t\ и новый гамильтониан может быть определен как
H*=—L* +Pgxr + Ш' = V (— L+Ps^ + ©).
(6.46)
Этот гамильтониан равен нулю. Однако если є рассматривать как независимую переменную, его частные производные не исчезают. Они связаны с производными гамильтониана (6.40) следующим образом:
дН* ,,дН дН* _,, дН
-f Ars > ~AT-1 ~dt >
дх*
AM*
дх*'
AM
dt
AM*
(6.47) Таким образом, мы можем прибавить к уравнениям (6.41)
следующее:
dff дН ,f. ,яч
W = It' <6-48>
Гамильтониан (6.40) представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Эта полная энергия изменяется во времени со скоростью Уравнение (6.48) не
независимо от уравнений (6.41). Его можно получить из последних, не прибегая к методу преобразования параметра. Действительно, полный дифференциал H равен
JU дН . t I дН . , дН ..
dH=dZd* + dZdP' + Wdt
и в силу (6.41)
JU dps . . , dxs . , дН ..
dH= —dfdx+HTdP* +Indt-
Делением на dt получаем отсюда (6.48).
Преобразование параметра полезно в том отношении, что позволяет переходить от одного параметра t к другому параметру 0. Оба представления при этом эквивалентны.
Перейдем к рассмотрению релятивистской механики, причем сначала изучим движение частиц, на которые не действуют силы. Лагранжиан является некоторой функцией
от (если за параметр выбрано t) или от (если параметр есть т). В дальнейшем точками будем обозначать дифференцирование по t, а штрихами по собственному времени частицы т. Производные лагранжиана по этим переменным дают значения импульсов. Импульсы, канонически сопряженные координатам л:*, определяются формулами (6.15). Четвертая компонента импульса (канонически сопряженная времени) согласно (6.44) равна
Pl=Lin-XsPs, (6.49)
где И(>— лагранжиан, соответствующий параметру t. Примем сначала за параметр время t. Из дифференциальных уравнений
dL{e) т'х' , ,с
-з-гг = —. , Ui = xsxs (6.50)
/7Г*
видим, что LSt) равно:
№ = m*{k— , (6-51)
где k — постоянная интегрирования. При этом интеграл / принимает значение
/ = ^LWdt = тс2 [к (t2 — Z1) — т (P2, P1)], (6.52) и
где т (P2і P1) — собственное время вдоль пути интегрирования между двумя конечными точками P1 и P2. Этот интеграл лорентц-инвариантен, если к равно нулю. Выражение
mc2k(t2—/,)
не зависит от пути интегрирования. Поэтому этот член ничего не дает для вариации Ы, если пределы интеграла не варьируются. Мы увидим, что величина k определяет значение постоянной интегрирования E0 в (6.17). Поскольку этот член неинвариантен, мы его опустим при переходе к четырехмерному представлению. Уравнения
Ps — ^—г (6.15а)
V-Эг
могут быть разрешены относительно Xs:
Ps
V
(6.156)
т2с* Гамильтониан определяется уравнением (6.40). В этом случае он равен
h2 C2
(6.53)
Если k выбрать равным 1, H^ равен релятивистской кинетической энергии; а при k, равным нулю, — полной энергии.
Для уравнений Гамильтона получаем
Ps_
^ дн т ¦ дН Л ,„ .„.
У + rrfic2
Перейдем теперь к параметру т. Согласно (6.43) Z.W = t'LV) = — mc2 |/ ^-I*"2 =
= -WC2V V*1"- (6.55)
Отсюда импульсы равны
Pi
I
dLU) __ • тхі' ' дхР ~~ VrnxX''Xxi
S (6.56)
—а!—— тсЧ' — тс\^а' (
Р* —OXV— У^ПР' pP- Y}
Корни, входящие в уравнения (6.55) и (6.56), равны 1 [(см. (5.127)1- Если этого не учесть, решение уравнений (6.56) относительно xf станет невозможным. Вообще говоря, моїкно было бы выбрать некоторый другой параметр вместо т, скажем O. При этом уравнения (6.56) имели бы точно такой же вид, только штрихи означали бы дифференцирование по 6. Однако в этом случае оказалось бы невозможным выразить х<" только через р. В рассмотренном же случае мы используем то обстоятельство, что дср' являются контравариантными компонентами единичного вектора,
а —— ковариантными компонентами того же единичного
вектора. XP' идентично с UK Решение может быть записано в виде:
xf'= —
(6.57)
У VxPiPx
который аналогичен (6.156). Однако такой способ записи решения совершенно произволен.
Квадратный корень в знаменателе постоянен:
VrlnPlPx = Ntci. (6.58) Поэтому решение может быть записано в общем виде: _ Wpa
= —9 {ГР,РФ™*)> ? 0)'= 1. (6 57а)
где 'f обращается в 1, когда аргумент равен 1, а в остальном совершенно произвольна. Используя (6.57а), получим для ?<т>, Xfp9 и //<т>;
LW = -УГР,РХ -'f. ]
jcpPp=-^--tP' (6.59)
Для краткости будем в дальнейшем обозначать квадратный корень через р. Для уравнений Гамильтона имеем
дН(т)
P р = л?' =
-^r=0' др. W
I /rSPVj О ...
(6.60) где <f' означает производную от <р по ее аргументу. Первый член справа исчезает, так как выражение в квадратных скобках равно нулю. Второй член равен [см. (6.57а)]:
^pf_ WPa_ pf /с СЛ ,
* ---^ = (6-60а)
Появление произвольной функции <р не случайно. Интеграл (6.52) при A = O равен длине дуги мировой линии в пространстве Минковского. Уравнения Эйлера-Лагранжа являются дифференциальными уравнениями геодезических линий, соответствующих уравнениям (5.99).
